Determine o raio de trajetória de uma carga pontual de carga q e massa m com velocidade v=-i+3 j, imersa em um campo magnético B= 2 i+2 j.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio da trajetória de uma carga pontual com carga e massa que está se movendo com velocidade dentro de um campo magnético . Aqui, estamos lidando com Magnetismo e Lei de Lorentz, que nos ajudam a entender como partículas carregadas se movem em campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética que atua sobre a carga é dada pela fórmula:
F = q, v times B
Essa é a Lei de Lorentz. A força resultante dessa interação faz a carga seguir uma trajetória circular. O raio dessa trajetória pode ser encontrado usando a relação entre força centrípeta e força magnética.

Passo 3

Para uma trajetória circular, a força centrípeta Fc = m v^2r é igual à força magnética F = q v B sin(theta) . A força centrípeta é dada por:
E a força magnética é:
onde:
  • é a massa da carga,
  • é a velocidade,
  • é o raio da trajetória,
  • é a carga,
  • é a intensidade do campo magnético,
  • é o ângulo entre e .

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v times B = i & j & k -1 & 3 & 0 2 & 2 & 0 = (3 times 0 - 0 times 2)i - (-1 times 0 - 0 times 2)j + (-1 times 2 - 3 times 2)k = 0i - 0j -8k para encontrar o valor da força magnética. Com e :
Então, .

Passo 5

Agora, temos a força magnética m v^2r = q v B sin(theta) (já que consideramos a magnitude). Igualando à força centrípeta:
Precisamos encontrar , e .

Passo 6

Calculando a velocidade v = raiz(-1)^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10 e o campo magnético B = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 :

Passo 7

O ângulo v cdot B = |v||B| cos(theta) entre (-1)(2) + (3)(2) = raiz10 times 2raiz2 cos(theta) e -2 + 6 = 2raiz20 cos(theta) pode ser encontrado usando o produto escalar:
4 = 4raiz5 cos(theta)
cos(theta) = 44raiz5 = 1raiz5
sin(theta) = raiz1 - (1raiz5)^2 = raiz1 - 15 = raiz45 = 2raiz5
Então,

Passo 8

Substituindo todos os valores na equação da força centrípeta:
m (raiz10)^2r = q raiz10 times 2raiz2 times 2raiz5
10mr = q raiz10 times 2raiz2 times 2raiz5
Simplificando:
10mr = q times 4 times raiz205 = q times 4 times raiz4 = q times 4 times 2 = 8q

Passo 9

Resolvendo para r = 10m8q = 5m4q :

Resposta

O raio da trajetória é .

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