Determine a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A questão pede para encontrar a solução geral da equação dada e ver como ela se comporta quando
vai para o infinito (
). Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por
para colocar a equação na forma padrão
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Resolvendo para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
, como
tende a
e o denominador cresce como
, o comportamento das soluções é que
tende a zero. Ou seja, todas as soluções satisfazem: