Determine a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
h.
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A questão pede para encontrar a solução geral da equação dada e ver como ela se comporta quando
vai para o infinito (
). Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por
para colocar a equação na forma padrão
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Resolvendo para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
, como
tende a
e o denominador cresce como
, o comportamento das soluções é que
tende a zero. Ou seja, todas as soluções satisfazem:
Exercícios relacionados
(4 pontos) Considere um anel condutor de raio
que transporta uma corrente elétrica
. Utilizando a lei de Biot-Savart e argumentos de simetria
(a) determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um ponto no centro do anel.
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por , sendo
a distância do ponto ao centro do anel.
Para refrescar a memória
(a) determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um ponto no centro do anel.
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por
Para refrescar a memória
Considere dois fios longos e paralelos, ambos de raio
, mas com cargas opostas. Os seus centros estão separados de uma distância
, muito maior do que d. Supondo que a carga é distribuída uniformemente na superfície de cada fio, mostre
Determine o raio de trajetória de uma carga pontual de carga
e massa
com velocidade
, imersa em um campo magnético
.
(GUALTER, NEWTON) Encontre o valor nominal, máximo e mínimo dos códigos de cores abaixo.
a) Marrom, Marrom, Marrom, Dourado;
b) Amarelo, Violeta, Vermelho, Prata;
c) Laranja, Laranja, Marrom, Dourado;
d) Cinza, Verde, Verde, Marrom;
e) Vermelho, Verde, Laranja, Dourado.
a) Marrom, Marrom, Marrom, Dourado;
b) Amarelo, Violeta, Vermelho, Prata;
c) Laranja, Laranja, Marrom, Dourado;
d) Cinza, Verde, Verde, Marrom;
e) Vermelho, Verde, Laranja, Dourado.