Determine a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A questão pede para encontrar a solução geral da equação dada e ver como ela se comporta quando vai para o infinito ( ). Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por para colocar a equação na forma padrão :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de :
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Resolvendo para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Quando , como tende a e o denominador cresce como , o comportamento das soluções é que tende a zero. Ou seja, todas as soluções satisfazem:

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(4 pontos) Considere um anel condutor de raio que transporta uma corrente elétrica . Utilizando a lei de Biot-Savart e argumentos de simetria
(a) determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um ponto no centro do anel.
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por , sendo a distância do ponto ao centro do anel.
Para refrescar a memória
Considere dois fios longos e paralelos, ambos de raio , mas com cargas opostas. Os seus centros estão separados de uma distância , muito maior do que d. Supondo que a carga é distribuída uniformemente na superfície de cada fio, mostre
Determine o raio de trajetória de uma carga pontual de carga e massa com velocidade , imersa em um campo magnético .
(GUALTER, NEWTON) Encontre o valor nominal, máximo e mínimo dos códigos de cores abaixo.
a) Marrom, Marrom, Marrom, Dourado;
b) Amarelo, Violeta, Vermelho, Prata;
c) Laranja, Laranja, Marrom, Dourado;
d) Cinza, Verde, Verde, Marrom;
e) Vermelho, Verde, Laranja, Dourado.