Determine a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t infty.
h. (1+t^2) y^prime+4 t y=(1+t^2)^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A questão pede para encontrar a solução geral da equação dada e ver como ela se comporta quando vai para o infinito ( ). Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
(1 + t^2) y^prime + 4t y = (1 + t^2)^-2
Vamos dividir todos os termos por y^prime + 4t1 + t^2 y = 1(1 + t^2)^3 para colocar a equação na forma padrão :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt . O fator integrante é dado por:
integral 4t1 + t^2 dt = 2 ln(1 + t^2) + C
Calculando a integral de mu(t) = e^2 ln(1 + t^2) = (1 + t^2)^2 :
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela (1 + t^2)^2 y^prime + 4t(1 + t^2) y = 11 + t^2 :
ddt [ (1 + t^2)^2 y ] = 11 + t^2
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a (1 + t^2)^2 y = integral 11 + t^2 dt + C :
integral 11 + t^2 dt = arctan(t) + C
Sabemos que:
(1 + t^2)^2 y = arctan(t) + C
Portanto:

Passo 6

Resolvendo para y = arctan(t) + C(1 + t^2)^2 :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = arctan(t) + C(1 + t^2)^2
Quando limt to infty y(t) = 0 , como tende a e o denominador cresce como , o comportamento das soluções é que tende a zero. Ou seja, todas as soluções satisfazem:

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