(4 pontos) Considere um anel condutor de raio R que transporta uma corrente elétrica i. Utilizando a lei de Biot-Savart e argumentos de simetria
(a) determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um ponto no centro do anel.
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por B(z)=mu0 i R^22(R^2+z^2)^3 / 2, sendo z a distância do ponto ao centro do anel.
Para refrescar a memória
rcl FB=q v times B ; & L=N PhiBi ; & d FB=i d L times B ; tau=mu times B ; d B=mu04 pi i d s times rr^3 ; & r=m vq B ; & B=mu0 i2 pi R ; oint B cdot d s=mu0 ienc ; PhiB=integral B cdot d A ; & E=-d PhiAd t ; & E=oint E cdot d s ; EL=-L d id t me=9,10 times 10^-31 kg ; & mp=1,67 times 10^-27 kg & q=1,60 times 10^-19 C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um anel condutor com raio que transporta uma corrente elétrica . A gente vai usar a Lei de Biot-Savart e argumentos de simetria para descobrir o campo magnético gerado por essa corrente em dois pontos específicos: no centro do anel e ao longo de um eixo perpendicular ao plano do anel. Para isso, vamos precisar entender como a Lei de Biot-Savart funciona e como a simetria ajuda a simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), que pede para determinar o módulo, a direção e o sentido do campo magnético no centro do anel. A Lei de Biot-Savart nos diz que um elemento de corrente gera um campo magnético dB = mu04pi i , ds times rr^3 em um ponto no espaço, dado por:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é a corrente, é um elemento do anel, e é o vetor que vai do elemento até o ponto onde queremos calcular o campo.

Passo 3

No centro do anel, devido à simetria circular, todos os vetores têm o mesmo comprimento ( ) e estão distribuídos de forma uniforme ao redor do centro. Quando aplicamos o produto vetorial , percebemos que a direção de é sempre perpendicular ao plano do anel. Isso significa que todos os elementos apontam na mesma direção (para cima ou para baixo do plano, dependendo do sentido da corrente).

Passo 4

Para encontrar o módulo total do campo magnético no centro, precisamos somar todos os B = mu0 i2R . Devido à simetria, a soma vetorial simplifica para:
A direção do campo é perpendicular ao plano do anel, e o sentido é determinado pela direção da corrente usando a Regra da Mão Direita: se os dedos da mão direita seguem a corrente, o polegar aponta na direção do campo magnético.

Passo 5

Agora vamos para a parte (b), onde queremos mostrar que a magnitude do campo magnético em pontos ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel é dada por:
B(z) = mu0 i R^22(R^2 + z^2)^3/2
Para isso, usamos novamente a Lei de Biot-Savart. Consideramos um ponto a uma distância do centro do anel ao longo do eixo. Cada elemento de corrente contribui com um , e devido à simetria, as componentes perpendiculares se cancelam, deixando apenas a componente ao longo do eixo.

Passo 6

Fazendo a integração considerando todos os elementos do anel, chegamos à expressão para o campo magnético no eixo:
B(z) = mu0 i R^22(R^2 + z^2)^3/2
Essa fórmula mostra que o campo declina com a distância do ponto ao centro do anel e depende do raio e da corrente .

Resposta

(a) No centro do anel, o campo magnético tem módulo , é perpendicular ao plano do anel e sua direção é determinada pela regra da mão direita conforme o sentido da corrente.
(b) A magnitude do campo magnético ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel a uma distância do centro é dada por .

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