(4 pontos) Considere um anel condutor de raio
que transporta uma corrente elétrica
. Utilizando a lei de Biot-Savart e argumentos de simetria
(a) determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um ponto no centro do anel.
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por
, sendo
a distância do ponto ao centro do anel.
Para refrescar a memória
(a) determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um ponto no centro do anel.
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por
Para refrescar a memória
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um anel condutor com raio
que transporta uma corrente elétrica
. A gente vai usar a Lei de Biot-Savart e argumentos de simetria para descobrir o campo magnético gerado por essa corrente em dois pontos específicos: no centro do anel e ao longo de um eixo perpendicular ao plano do anel. Para isso, vamos precisar entender como a Lei de Biot-Savart funciona e como a simetria ajuda a simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), que pede para determinar o módulo, a direção e o sentido do campo magnético no centro do anel. A Lei de Biot-Savart nos diz que um elemento de corrente gera um campo magnético
em um ponto no espaço, dado por:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente,
é um elemento do anel, e
é o vetor que vai do elemento
até o ponto onde queremos calcular o campo.
Passo 3
No centro do anel, devido à simetria circular, todos os vetores
têm o mesmo comprimento (
) e estão distribuídos de forma uniforme ao redor do centro. Quando aplicamos o produto vetorial
, percebemos que a direção de
é sempre perpendicular ao plano do anel. Isso significa que todos os elementos
apontam na mesma direção (para cima ou para baixo do plano, dependendo do sentido da corrente).
Passo 4
Para encontrar o módulo total do campo magnético no centro, precisamos somar todos os
. Devido à simetria, a soma vetorial simplifica para:
A direção do campo é perpendicular ao plano do anel, e o sentido é determinado pela direção da corrente usando a Regra da Mão Direita: se os dedos da mão direita seguem a corrente, o polegar aponta na direção do campo magnético.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b), onde queremos mostrar que a magnitude do campo magnético em pontos ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel é dada por:
Para isso, usamos novamente a Lei de Biot-Savart. Consideramos um ponto a uma distância
do centro do anel ao longo do eixo. Cada elemento de corrente
contribui com um
, e devido à simetria, as componentes perpendiculares se cancelam, deixando apenas a componente ao longo do eixo.
Passo 6
Fazendo a integração considerando todos os elementos do anel, chegamos à expressão para o campo magnético no eixo:
Essa fórmula mostra que o campo declina com a distância
do ponto ao centro do anel e depende do raio
e da corrente
.
Resposta
(a) No centro do anel, o campo magnético tem módulo
, é perpendicular ao plano do anel e sua direção é determinada pela regra da mão direita conforme o sentido da corrente.
(b) A magnitude do campo magnético ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel a uma distância
do centro é dada por
.
Exercícios relacionados
Considere dois fios longos e paralelos, ambos de raio
, mas com cargas opostas. Os seus centros estão separados de uma distância
, muito maior do que d. Supondo que a carga é distribuída uniformemente na superfície de cada fio, mostre
HALLIDAY-VOL
EDIÇÃO - CAPÍTULO 21 - PROBLEMA 15
As cargas e coordenadas de duas partículas mantidas fixas no plano xy são e
. Determine (a) o módulo e (b) a direção da força eletrostática que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2. Determine também © a coordenada x e (d) a coordenada y de uma terceira partícula de carga
para que a força exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula. (Respostas © e (d) no livro estão erradas
As cargas e coordenadas de duas partículas mantidas fixas no plano xy são
Determine a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
h.
h.
Determine o raio de trajetória de uma carga pontual de carga
e massa
com velocidade
, imersa em um campo magnético
.