Determine as relações entre o raio atômico e o parâmetro de rede para o sistema cúbico e hexagonal em metais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre como o raio atômico se relaciona com o parâmetro de rede nos sistemas cúbico e hexagonal em metais. A gente vai precisar entender um pouco de estrutura cristalina, que é como os átomos estão organizados dentro do metal, e como isso influencia o tamanho das células unitárias, que são os blocos básicos dessa estrutura. Vamos usar algumas fórmulas para conectar o raio atômico ao parâmetro de rede.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o sistema cúbico, que pode ser subdividido em três tipos principais: cúbico simples (CS), cúbico de corpo centrado (CCC) e cúbico de face centrada (CFC).
No cúbico simples (CS), temos um átomo em cada canto do cubo. A relação entre o raio atômico ® e o parâmetro de rede (a) é simples. Imagine uma aresta do cubo passando por dois raios atômicos, então:
a = 2r

Passo 3

No cúbico de corpo centrado (CCC), além dos átomos nos cantos, há um átomo no centro do cubo. Aqui, os átomos no centro tocam os átomos nos cantos pela diagonal do cubo. Usando o Teorema de Pitágoras na diagonal do cubo, temos:
A diagonal do cubo passa por dois raios e o corpo central, então:
raiz3a = 4r
Portanto, a relação é:
a = 4rraiz3

Passo 4

No cúbico de face centrada (CFC), além dos átomos nos cantos, há um átomo no centro de cada face do cubo. Aqui, os átomos na face tocam os cantos, e a relação entre o raio atômico e o parâmetro de rede é encontrada pela diagonal da face:
raiz2a = 4r
Então, a relação fica:
a = 4rraiz2 = 2raiz2r

Passo 5

Agora, vamos para o sistema hexagonal compactado (HCP). Nesse sistema, os átomos estão organizados de forma que cada átomo está cercado por 12 outros, formando camadas hexagonais. As relações entre o raio atômico e os parâmetros de rede no HCP são um pouco mais complexas, mas considerando a simetria hexagonal:
A relação entre o raio atômico ® e o parâmetro de rede (a) é:
a = 2r
E a altura da célula unitária © está relacionada a:
ca = raiz83
Isso garante o empacotamento mais eficiente dos átomos no sistema hexagonal.

Resposta

Resumindo, as relações entre o raio atômico ® e o parâmetro de rede (a) são:
  • Cúbico Simples (CS):
    a = 2r
  • Cúbico de Corpo Centrado (CCC):
    a = 4rraiz3
  • Cúbico de Face Centrada (CFC):
    a = 2raiz2r
  • Hexagonal Compactado (HCP):
    a = 2r
    ca = raiz83
Essas relações ajudam a entender como o tamanho dos átomos influencia a estrutura cristalina dos metais.

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