O que é fator de empacotamento em uma célula unitária? Calcule o fator de empacotamento para as células cúbicas para metais.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A pergunta tem duas partes:
  1. O que é fator de empacotamento em uma célula unitária?
  2. Calcule o fator de empacotamento para as células cúbicas para metais.
Vamos trabalhar com o conteúdo de Cristalografia, especificamente sobre estruturas cristalinas e como os átomos são distribuídos nesses arranjos. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma célula unitária, entender os diferentes tipos de empacotamento (como o empacotamento cúbico simples, cúbico de face centrada e cúbico de corpo centrado) e como calcular o fator de empacotamento usando a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir fator de empacotamento (FE). Ele representa a fração do volume de uma célula unitária que é realmente ocupado pelos átomos. Basicamente, é uma medida de quão “eficiente” é o arranjo dos átomos dentro da célula unitária.
A fórmula para calcular o fator de empacotamento é:
FE = Volume ocupado pelos átomos na célulaVolume total da célula áéé
Mas para usar essa fórmula, precisamos saber quantos átomos estão em cada célula e o volume de cada átomo.

Passo 3

Vamos considerar as células cúbicas, que são comuns em metais. Existem três tipos principais de células cúbicas:
  1. Cúbica Simples (CS)
  2. Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
  3. Cúbica de Face Centrada (CFC)
Cada tipo tem um número diferente de átomos por célula e, consequentemente, um fator de empacotamento diferente.

Passo 4

Vamos detalhar cada tipo:
  1. Cúbica Simples (CS):
    • Número de átomos por célula: 1
    • Relação entre o raio do átomo ® e a aresta da célula (a):
  2. Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
    • Número de átomos por célula: 2
    • Relação entre r e a:
  3. Cúbica de Face Centrada (CFC):
    • Número de átomos por célula: 4
    • Relação entre r e a:

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume ocupado pelos átomos e o volume total da célula para cada tipo de célula cúbica.
Volume de um átomo (esfera):
Vátomo = 43 pi r^3 á
Volume total da célula cúbica:
Vcélula = a^3 é

Passo 6

Vamos calcular o fator de empacotamento para cada tipo:
  1. Cúbica Simples (CS):
FE = 1 times 43 pi r^3(2r)^3 = 43 pi r^38r^3 = pi6 approx 0,524 ou 52,4%
  1. Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
FE = 2 times 43 pi r^3(4rraiz3)^3 = 83 pi r^364r^33raiz3 = 8 pi64/raiz3 = pi raiz36 approx 0,740 ou 74,0%
  1. Cúbica de Face Centrada (CFC):
FE = 4 times 43 pi r^3(2raiz2 r)^3 = 163 pi r^316 raiz2 r^3 = 16 pi48 raiz2 = pi3 raiz2 approx 0,740 ou 74,0%

Resposta

O fator de empacotamento para as células cúbicas nos metais varia conforme o tipo de célula:
  • Cúbica Simples: Aproximadamente 52,4%
  • Cúbica de Corpo Centrado: Aproximadamente 74,0%
  • Cúbica de Face Centrada: Aproximadamente 74,0%

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