Determine uma representaçăo parametrizada para a superficie.
A parte do hiperboloide que está abaixo do retângulo
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar uma representação parametrizada para uma parte da superfície definida pela equação do hiperboloide . Especificamente, queremos a parte dessa superfície que está abaixo do retângulo com as coordenadas . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e manipulação de equações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do hiperboloide para expressar em termos de e . A equação dada é:
Podemos isolar :
Passo 3
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Aqui, consideramos apenas a parte positiva da raiz porque estamos interessados na parte da superfície que está abaixo do retângulo, o que implica valores positivos de .
Passo 4
Para parametrizar a superfície, escolhemos e como parâmetros. Assim, podemos definir:
Onde varia de a e varia de a , conforme o retângulo dado.
Passo 5
Portanto, a representação parametrizada da parte do hiperboloide que está abaixo do retângulo é: