(8) Verifique se o Teorema de Picard garante a unicidade de solução para a equação diferencial y' = raiz(y^2 - 9), passando pelo ponto:
(a) 1,4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o Teorema de Picard garante a unicidade da solução para a equação diferencial que passa pelo ponto . Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e condições de unicidade.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Picard diz que se a função e a sua derivada parcial em relação a , , forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial , então existe uma solução única para a equação diferencial nesse ponto.

Passo 3

No nosso caso, . Vamos verificar se é contínua perto do ponto . Para isso, precisamos que o que está dentro da raiz, , seja não-negativo. Como , temos , que é positivo. Então, é contínua perto de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Queremos verificar se essa derivada também é contínua perto de .

Passo 5

No ponto , substituindo na derivada, temos:
Esse valor é bem definido e contínuo. Além disso, para valores de próximos a 4, o denominador continua sendo positivo e diferente de zero, garantindo a continuidade da derivada.

Resposta

Sim, o Teorema de Picard garante a unicidade da solução da equação diferencial que passa pelo ponto .

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