(10)) Verifique se x^3 + 2 x^2 y - 2 y^3 = c é uma solução implícita da equação (x^2 - 6y^2) y' + 3x^2 + 2xy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a equação implícita é uma solução da equação diferencial . Isso está relacionado à matéria de Equações Diferenciais, especificamente verificando se uma solução implícita satisfaz a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da equação implícita e substituir na equação diferencial para ver se ela se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação implícita em relação a . Lembre-se que é uma constante, então sua derivada é zero. Usaremos a Regra da Derivada de funções implícitas, que envolve derivar cada termo em relação a e lembrar que é uma função de .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de precisa usar a Regra do Produto: .
  • A derivada de é .
Então, a derivada total fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação derivada. Para isso, agrupamos os termos que contêm e os que não contêm:
Fatorando :
Agora, isolamos :

Passo 4

Vamos comparar a expressão de que encontramos com a equação diferencial dada. A equação diferencial original é:
Podemos reescrever isso para isolar :
Observamos que nossa expressão para da equação implícita é:

Passo 5

Para verificar se a solução implícita satisfaz a equação diferencial, precisamos ver se as duas expressões para são equivalentes. Simplificando a equação diferencial isolada:
Comparando com a derivada da solução implícita:
As duas expressões não são iguais, já que os numeradores e denominadores diferem. Portanto, a solução implícita dada não satisfaz a equação diferencial original.

Resposta

A equação não é uma solução implícita da equação diferencial .

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