(10)) Verifique se
é uma solução implícita da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a equação implícita
é uma solução da equação diferencial
. Isso está relacionado à matéria de Equações Diferenciais, especificamente verificando se uma solução implícita satisfaz a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada
da equação implícita e substituir na equação diferencial para ver se ela se iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação implícita
em relação a
. Lembre-se que
é uma constante, então sua derivada é zero. Usaremos a Regra da Derivada de funções implícitas, que envolve derivar cada termo em relação a
e lembrar que
é uma função de
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
precisa usar a Regra do Produto: . - A derivada de
é .
Então, a derivada total fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação derivada. Para isso, agrupamos os termos que contêm
e os que não contêm:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Vamos comparar a expressão de
que encontramos com a equação diferencial dada. A equação diferencial original é:
Podemos reescrever isso para isolar
:
Observamos que nossa expressão para
da equação implícita é:
Passo 5
Para verificar se a solução implícita satisfaz a equação diferencial, precisamos ver se as duas expressões para
são equivalentes. Simplificando a equação diferencial isolada:
Comparando com a derivada da solução implícita:
As duas expressões não são iguais, já que os numeradores e denominadores diferem. Portanto, a solução implícita dada não satisfaz a equação diferencial original.
Resposta
A equação
não é uma solução implícita da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
(8) Verifique se o Teorema de Picard garante a unicidade de solução para a equação diferencial
, passando pelo ponto:
(a)
(a)
Calcule
usando a definição:
Calcule que é sent,
e 0,
.
Calcule
Determine uma representaçăo parametrizada para a superficie.
A parte do hiperboloide que está abaixo do retângulo
A parte do hiperboloide
Encontre a transformada de Laplace inversa dada usando: