Encontre a transformada de Laplace inversa dada usando:
f(t)=-1t L^-1dd s F(s) cl a) L^-1ln (s-3s+1) & b) L^-1ln (s^2+1s^2+4) c) L^-1pi2-arctg(s2) & d) L^-11s-arccot g(4s)

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
L^-1ln (s-3s+1)
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas, especialmente envolvendo logaritmos e derivadas em relação a .
O que vamos precisar: A relação dada no enunciado que conecta a transformada de Laplace inversa de uma derivada de com a função no domínio do tempo, além de propriedades das transformadas de Laplace para funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função f(t) = -1t L^-1 dd s F(s) está relacionada à derivada de L^-1 dd s ln ( s - 3s + 1 ) . Segundo a relação fornecida:
Portanto, nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Calculamos a derivada de dd s ln ( s - 3s + 1 ) = 1s - 3 - 1s + 1 :
1s - 3 - 1s + 1
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
L^-1 1s - 3 = e^3 t
e
L^-1 1s + 1 = e^- t
Portanto,
L^-1 dd s F(s) = e^3 t - e^- t

Passo 5

Agora, aplicamos a relação dada:
f(t) = -1t ( e^3 t - e^- t ) = -e^3 t - e^- tt

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
L^-1ln (s^2+1s^2+4)
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas envolvendo funções logarítmicas e derivadas em relação a .
O que vamos precisar: A relação fornecida para conectar a transformada de Laplace inversa de uma derivada de com a função no domínio do tempo, além de propriedades de funções logarítmicas envolvendo polinômios quadráticos.

Passo 7

Identificamos f(t) = -1t L^-1 dd s F(s) . Segundo a relação:
L^-1 dd s ln ( s^2 + 1s^2 + 4 )
Portanto, precisamos encontrar:

Passo 8

Calculamos a derivada de dd s ln ( s^2 + 1s^2 + 4 ) = 2 ss^2 + 1 - 2 ss^2 + 4 :

Passo 9

Aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
L^-1 2 ss^2 + 1 = 2 cos t
e
L^-1 2 ss^2 + 4 = 2 cos 2 t
Portanto,
L^-1 dd s F(s) = 2 cos t - 2 cos 2 t

Passo 10

Aplicando a relação dada:
f(t) = -1t ( 2 cos t - 2 cos 2 t ) = -2 (cos t - cos 2 t)t

Passo 11

Vamos resolver a parte c) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas envolvendo funções arctangente.
O que vamos precisar: Conhecer a transformada inversa da função arctangente e as propriedades básicas da transformada de Laplace.

Passo 12

Primeiro, identificamos a função a ser invertida:
Precisamos encontrar G(s) = pi2 - arctg(s2) .

Passo 13

Sabemos que:
Comparando com L arctan(a t) = pi2 s - 1s arctg(sa) , temos G(s) = L arctan(2 t) . Portanto,

Passo 14

Assim, a transformada inversa de f(t) = arctan(2 t) é:

Passo 15

Vamos resolver a parte d) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas envolvendo funções cotangente inversa e manipulações de variáveis.
O que vamos precisar: Compreender a definição e propriedades da função arccotangente e como aplicá-las na transformada inversa, além de manipular a expressão 1s - arccot(g(4s)) .

Passo 16

Precisamos interpretar a função a ser invertida:
No entanto, o enunciado menciona a função G(s) = 1s - arccot(g(4s)) , mas não fornece informações sobre o que é . Sem a definição ou propriedades adicionais de , não é possível prosseguir com a resolução.

Resposta

Não é possível determinar a transformada de Laplace inversa da expressão dada sem informações adicionais sobre a função . Por favor, verifique o enunciado ou forneça mais detalhes sobre .

Resumo Final

Resolvemos as partes a), b) e c) do exercício conforme solicitado, utilizando propriedades das transformadas de Laplace e suas inversas, além de derivadas e funções logarítmicas. A parte d) não pôde ser resolvida devido à falta de informações sobre a função .

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