Encontre a transformada de Laplace inversa dada usando:
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas, especialmente envolvendo logaritmos e derivadas em relação a
.
O que vamos precisar: A relação dada no enunciado que conecta a transformada de Laplace inversa de uma derivada de
com a função no domínio do tempo, além de propriedades das transformadas de Laplace para funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
está relacionada à derivada de
. Segundo a relação fornecida:
Portanto, nosso objetivo é encontrar:
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
e
Portanto,
Passo 5
Agora, aplicamos a relação dada:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas envolvendo funções logarítmicas e derivadas em relação a
.
O que vamos precisar: A relação fornecida para conectar a transformada de Laplace inversa de uma derivada de
com a função no domínio do tempo, além de propriedades de funções logarítmicas envolvendo polinômios quadráticos.
Passo 7
Identificamos
. Segundo a relação:
Portanto, precisamos encontrar:
Passo 8
Calculamos a derivada de
:
Passo 9
Aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
e
Portanto,
Passo 10
Aplicando a relação dada:
Passo 11
Vamos resolver a parte c) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas envolvendo funções arctangente.
O que vamos precisar: Conhecer a transformada inversa da função arctangente e as propriedades básicas da transformada de Laplace.
Passo 12
Primeiro, identificamos a função a ser invertida:
Precisamos encontrar
.
Passo 13
Sabemos que:
Comparando com
, temos
. Portanto,
Passo 14
Assim, a transformada inversa de
é:
Passo 15
Vamos resolver a parte d) do exercício. O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas inversas envolvendo funções cotangente inversa e manipulações de variáveis.
O que vamos precisar: Compreender a definição e propriedades da função arccotangente e como aplicá-las na transformada inversa, além de manipular a expressão
.
Passo 16
Precisamos interpretar a função a ser invertida:
No entanto, o enunciado menciona a função
, mas não fornece informações sobre o que é
. Sem a definição ou propriedades adicionais de
, não é possível prosseguir com a resolução.
Resposta
Não é possível determinar a transformada de Laplace inversa da expressão dada sem informações adicionais sobre a função
. Por favor, verifique o enunciado ou forneça mais detalhes sobre
.
Resumo Final
Resolvemos as partes a), b) e c) do exercício conforme solicitado, utilizando propriedades das transformadas de Laplace e suas inversas, além de derivadas e funções logarítmicas. A parte d) não pôde ser resolvida devido à falta de informações sobre a função
.
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