Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
e
é o hemisfério
, de orientação ascendente.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado quer que a gente use o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é o hemisfério definido pela equação
com
, ou seja, a parte de cima de uma esfera de raio 3. Para resolver isso, precisamos calcular o rotacional do vetor
, e aí aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o rotacional de
. O rotacional (ou “curl”) de um vetor
é dado pela fórmula:
No nosso caso:
-
, -
, -
.
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Agora, juntando tudo isso no rotacional:
Passo 3
Agora que temos o rotacional, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Segundo esse teorema, a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície
é igual à integral de linha do vetor sobre a borda da superfície, que é denotada por
.
Assim, temos que calcular:
A borda da superfície
(que é o hemisfério) é um círculo no plano
dado por
. Vamos parametrizar esse círculo usando:
O vetor diferencial de linha é dado por:
Agora, substituímos esses valores na função
. Quando
, temos:
Agora, calculamos
:
Agora, integramos ao longo do caminho:
Sabemos que a integral de
sobre um período completo é:
Portanto, temos:
Resposta
Assim, a integral
.
Exercícios relacionados
Calcule:
Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(b) A parte do cilindro que se encontra entre os planos
e
.
(b) A parte do cilindro
Determine uma função
tal que
e calcule
sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
© e
.
©