Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F d S, para F(x, y, z)=2 y cos z i+e^x sen z j+x e^y k e S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=9, z >= 0, de orientação ascendente.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado quer que a gente use o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície integral duplaS rot F d S, onde F(x, y, z)=2 y cos z i+e^x sen z j+x e^y k. A superfície S é o hemisfério definido pela equação x^2+y^2+z^2=9 com z >= 0, ou seja, a parte de cima de uma esfera de raio 3. Para resolver isso, precisamos calcular o rotacional do vetor F, e aí aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o rotacional de F. O rotacional (ou “curl”) de um vetor F(x, y, z) = P i + Q j + R k é dado pela fórmula:
rot F = nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i - ( partial Rpartial x - partial Ppartial z ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
No nosso caso:
  • P = 2y cos z,
  • Q = e^x sin z,
  • R = x e^y.
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. partial Rpartial y = partialpartial y(x e^y) = x e^y.
  2. partial Qpartial z = partialpartial z(e^x sin z) = e^x cos z.
  3. partial Rpartial x = partialpartial x(x e^y) = e^y.
  4. partial Ppartial z = partialpartial z(2y cos z) = -2y sin z.
  5. partial Qpartial x = partialpartial x(e^x sin z) = e^x sin z.
  6. partial Ppartial y = partialpartial y(2y cos z) = 2 cos z.
Agora, juntando tudo isso no rotacional:
rot F = ( x e^y - e^x cos z ) i - ( e^y + 2y sin z ) j + ( e^x sin z - 2 cos z ) k

Passo 3

Agora que temos o rotacional, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Segundo esse teorema, a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície S é igual à integral de linha do vetor sobre a borda da superfície, que é denotada por partial S.
Assim, temos que calcular:
integral duplaS rot F cdot dS = ointpartial S F cdot dr
A borda da superfície S (que é o hemisfério) é um círculo no plano z=0 dado por x^2 + y^2 = 9. Vamos parametrizar esse círculo usando:
x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 0 para t in [0, 2pi]
O vetor diferencial de linha é dado por:
dr = (-3 sin t , dt, 3 cos t , dt, 0)
Agora, substituímos esses valores na função F. Quando z=0, temos:
F(3 cos t, 3 sin t, 0) = 2(3 sin t) cdot 1 i + e^3 cos t cdot 0 j + 3 e^3 sin t k = 6 sin t i + 0 j + 3 e^3 sin t k
Agora, calculamos F cdot dr:
F cdot dr = (6 sin t i + 0 j + 3 e^3 sin t k) cdot (-3 sin t , dt, 3 cos t , dt, 0) = 6 sin t (-3 sin t) dt = -18 sin^2 t , dt
Agora, integramos ao longo do caminho:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi -18 sin^2 t , dt
Sabemos que a integral de sin^2 t sobre um período completo é:
integral0^2pi sin^2 t , dt = pi
Portanto, temos:
ointpartial S F cdot dr = -18 cdot pi = -18pi

Resposta

Assim, a integral integral duplaS rot F d S = -18pi.

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