Use o Teorema de Stokes para calcular , para e é o hemisfério , de orientação ascendente.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado quer que a gente use o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície , onde . A superfície é o hemisfério definido pela equação com , ou seja, a parte de cima de uma esfera de raio 3. Para resolver isso, precisamos calcular o rotacional do vetor , e aí aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o rotacional de . O rotacional (ou “curl”) de um vetor é dado pela fórmula:
No nosso caso:
  • ,
  • ,
  • .
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
Agora, juntando tudo isso no rotacional:

Passo 3

Agora que temos o rotacional, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Segundo esse teorema, a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície é igual à integral de linha do vetor sobre a borda da superfície, que é denotada por .
Assim, temos que calcular:
A borda da superfície (que é o hemisfério) é um círculo no plano dado por . Vamos parametrizar esse círculo usando:
O vetor diferencial de linha é dado por:
Agora, substituímos esses valores na função . Quando , temos:
Agora, calculamos :
Agora, integramos ao longo do caminho:
Sabemos que a integral de sobre um período completo é:
Portanto, temos:

Resposta

Assim, a integral .

Exercícios relacionados

Calcule:
Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(b) A parte do cilindro que se encontra entre os planos e .
Determine uma função tal que e calcule sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
© e .