Determine A^-1 e resolva a equação matricial (A X)^t=B, onde A=[ll1 & 3 2 & 7] e B= [cc3 & -2 1 & 0]

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão! Precisamos encontrar a inversa da matriz e resolver a equação matricial . Aqui, estamos lidando com matrizes e álgebra linear. Para isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e entender um pouco sobre transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a inversa da matriz A = 1 & 3 2 & 7 . A matriz A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a é:
Para encontrar a inversa de uma matriz , usamos a seguinte fórmula:
onde é o determinante de calculado por .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = (1)(7) - (3)(2) = 7 - 6 = 1 :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz tem inversa.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 11 7 & -3 -2 & 1 = 7 & -3 -2 & 1
Então, a inversa de A^-1 = 7 & -3 -2 & 1 é:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação matricial (A X)^t = X^t A^t . Primeiro, entendemos que a transposição de um produto de matrizes segue a regra:
X^t A^t = B
Então, temos:

Passo 6

Para isolar X^t = B (A^t)^-1 , multiplicamos ambos os lados pela inversa de (que é ):
Lembre-se que .

Passo 7

Vamos calcular A^t = 1 & 2 3 & 7 , a transposta de (A^t)^-1 = (A^-1)^t = 7 & -2 -3 & 1 :
E a inversa de é a transposta da inversa de :

Passo 8

Agora, multiplicamos X^t = B (A^-1)^t = 3 & -2 1 & 0 7 & -2 -3 & 1 pela inversa de X^t = 3 times 7 + (-2) times (-3) & 3 times (-2) + (-2) times 1 1 times 7 + 0 times (-3) & 1 times (-2) + 0 times 1 = 21 + 6 & -6 -2 7 + 0 & -2 + 0 = 27 & -8 7 & -2 :
Fazendo a multiplicação:

Passo 9

Finalmente, para encontrar X = (X^t)^t = 27 & 7 -8 & -2 , transponemos :

Resposta

A inversa de A^-1 = 7 & -3 -2 & 1 é:
X = 27 & 7 -8 & -2
E a solução da equação matricial é:

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