Determine a resposta de vibração livre de um sistema massa-mola sujeito a amortecimento Coulomb com a utilização do MATLAB para os seguintes dados:
,
c) A solução da equação do movimento e o gráfico do deslocamento deste sistema. (pode-se utilizar programas como Excel e Matlab).
c) A solução da equação do movimento e o gráfico do deslocamento deste sistema. (pode-se utilizar programas como Excel e Matlab).
Passo 1
Beleza, vamos resolver a vibração livre de um sistema massa-mola que tem amortecimento Coulomb. Isso significa que temos uma massa presa a uma mola, e há uma força de atrito constante agindo contra o movimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica vibracional e resolver a equação do movimento. Também vamos usar o MATLAB para encontrar a solução e plotar o deslocamento ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do movimento para um sistema massa-mola com amortecimento Coulomb. A equação diferencial que descreve essa situação é:
Aqui:
-
é a massa (5 kg), -
é a constante da mola (100 N/m), -
é a força de atrito Coulomb, onde é o coeficiente de atrito (0,5) e é a força normal (nesse caso, ), -
é o deslocamento, -
é a velocidade, -
é a aceleração.
Passo 3
Vamos simplificar a força de atrito Coulomb. Sabemos que
:
Então, nossa equação fica:
Passo 4
Essa equação é não linear devido ao termo
, o que nos impede de resolver analiticamente de forma simples. Por isso, vamos usar o MATLAB para resolver numericamente usando métodos como o de Euler ou Runge-Kutta.
Passo 5
No MATLAB, vamos reescrever a equação diferencial em um sistema de equações de primeira ordem. Vamos definir:
Então, a equação fica:
Agora temos o sistema:
Passo 6
Vamos implementar isso no MATLAB. Primeiro, definimos os parâmetros e a função que descreve o sistema:
function dxdt = mass_spring_coulomb(t, x)
m = 5; % kg
k = 100; % N/m
mu = 0.5;
g = 9.81; % m/s^2
Fc = mu * m * g;
dxdt = zeros(2,1);
dxdt(1) = x(2);
if x(2) > 0
sign_v = 1;
elseif x(2) < 0
sign_v = -1;
else
sign_v = 0;
end
dxdt(2) = (-k/m)*x(1) - (Fc/m)*sign_v;
end
Passo 7
Agora, vamos definir as condições iniciais e o intervalo de tempo para a simulação. Por exemplo, suponha que a massa seja deslocada 0,1 m da posição de equilíbrio e liberada sem velocidade inicial:
x0 = [0.1; 0]; % [deslocamento inicial; velocidade inicial]
tspan = [0 10]; %(simulação de 10 segundos)
Passo 8
Utilizamos a função
ode45
para resolver o sistema de equações diferenciais:[t, x] = ode45(@mass_spring_coulomb, tspan, x0);
Passo 9
Finalmente, vamos plotar o deslocamento ao longo do tempo:
figure;
plot(t, x(:,1));
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Deslocamento (m)');
title('Deslocamento do Sistema Massa-Mola com Amortecimento Coulomb');
grid on;
Resposta
Após resolver a equação do movimento utilizando o MATLAB, obtemos a expressão do deslocamento
e o gráfico correspondente mostra como a massa oscila ao longo do tempo, diminuindo gradualmente devido ao amortecimento Coulomb. O gráfico resultante ilustra a diminuiç��o da amplitude das vibrações conforme o tempo avança.
Exercícios relacionados
Um carro de passeio está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas
(ou
). Obtenha: a aceleração
do carro de passeio. Comente o resultado em relação aos itens (a) e (b).
Um carro de passeio está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas
(ou
). Obtenha: a velocidade
do carro de passeio. Comente o resultado em relação ao item (a).
Determine a resposta de vibração livre de um sistema massa-mola sujeito a amortecimento Coulomb com a utilização do MATLAB para os seguintes dados:
,
b) A frequência natural.II
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A) A máquina começa a se movimentar a partir do repouso após o agricultor ligar o motor.
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