Determine a resposta de vibração livre de um sistema massa-mola sujeito a amortecimento Coulomb com a utilização do MATLAB para os seguintes dados: ,
c) A solução da equação do movimento e o gráfico do deslocamento deste sistema. (pode-se utilizar programas como Excel e Matlab).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a vibração livre de um sistema massa-mola que tem amortecimento Coulomb. Isso significa que temos uma massa presa a uma mola, e há uma força de atrito constante agindo contra o movimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica vibracional e resolver a equação do movimento. Também vamos usar o MATLAB para encontrar a solução e plotar o deslocamento ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do movimento para um sistema massa-mola com amortecimento Coulomb. A equação diferencial que descreve essa situação é:
Aqui:
  • é a massa (5 kg),
  • é a constante da mola (100 N/m),
  • é a força de atrito Coulomb, onde é o coeficiente de atrito (0,5) e é a força normal (nesse caso, ),
  • é o deslocamento,
  • é a velocidade,
  • é a aceleração.

Passo 3

Vamos simplificar a força de atrito Coulomb. Sabemos que :
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Essa equação é não linear devido ao termo , o que nos impede de resolver analiticamente de forma simples. Por isso, vamos usar o MATLAB para resolver numericamente usando métodos como o de Euler ou Runge-Kutta.

Passo 5

No MATLAB, vamos reescrever a equação diferencial em um sistema de equações de primeira ordem. Vamos definir:
Então, a equação fica:
Agora temos o sistema:

Passo 6

Vamos implementar isso no MATLAB. Primeiro, definimos os parâmetros e a função que descreve o sistema:
function dxdt = mass_spring_coulomb(t, x)
    m = 5; % kg
    k = 100; % N/m
    mu = 0.5;
    g = 9.81; % m/s^2
    Fc = mu * m * g;
    
    dxdt = zeros(2,1);
    dxdt(1) = x(2);
    if x(2) > 0
        sign_v = 1;
    elseif x(2) < 0
        sign_v = -1;
    else
        sign_v = 0;
    end
    dxdt(2) = (-k/m)*x(1) - (Fc/m)*sign_v;
end

Passo 7

Agora, vamos definir as condições iniciais e o intervalo de tempo para a simulação. Por exemplo, suponha que a massa seja deslocada 0,1 m da posição de equilíbrio e liberada sem velocidade inicial:
x0 = [0.1; 0]; % [deslocamento inicial; velocidade inicial]
tspan = [0 10]; %(simulação de 10 segundos)

Passo 8

Utilizamos a função ode45 para resolver o sistema de equações diferenciais:
[t, x] = ode45(@mass_spring_coulomb, tspan, x0);

Passo 9

Finalmente, vamos plotar o deslocamento ao longo do tempo:
figure;
plot(t, x(:,1));
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Deslocamento (m)');
title('Deslocamento do Sistema Massa-Mola com Amortecimento Coulomb');
grid on;

Resposta

Após resolver a equação do movimento utilizando o MATLAB, obtemos a expressão do deslocamento e o gráfico correspondente mostra como a massa oscila ao longo do tempo, diminuindo gradualmente devido ao amortecimento Coulomb. O gráfico resultante ilustra a diminuiç��o da amplitude das vibrações conforme o tempo avança.

Exercícios relacionados

Um carro de passeio está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas (ou ). Obtenha: a aceleração do carro de passeio. Comente o resultado em relação aos itens (a) e (b).
Um carro de passeio está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas (ou ). Obtenha: a velocidade do carro de passeio. Comente o resultado em relação ao item (a).
Determine a resposta de vibração livre de um sistema massa-mola sujeito a amortecimento Coulomb com a utilização do MATLAB para os seguintes dados: ,
b) A frequência natural.II
Com base na situação descrita identifique qual Lei de Newton está relacionada com os exemplos descritos. Explique brevemente como cada lei se aplica em cada situação. Durante a colheita um agricultor está operando uma colheitadeira em um campo com terreno irregular.
A) A máquina começa a se movimentar a partir do repouso após o agricultor ligar o motor.