Um carro de passeio está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas x y (ou r theta ). Obtenha: a velocidade v(t) do carro de passeio. Comente o resultado em relação ao item (a).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a velocidade do carro, representada por v(t), que está se movendo em um movimento circular uniforme (MCU) ao redor da origem de um sistema de coordenadas xy (ou rtheta). Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de MCU e como calcular a velocidade vetorial nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Movimento Circular Uniforme (MCU). Nesse tipo de movimento, o objeto (no caso, o carro) se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante omega. Isso significa que o carro completa uma volta em um período de tempo constante.
A posição do carro pode ser descrita em coordenadas polares como:
r(t) = r cos(omega t) x + r sin(omega t) y
onde:
  • r é o raio da trajetória circular,
  • omega é a velocidade angular,
  • t é o tempo,
  • x e y são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a velocidade v(t), precisamos calcular a derivada da posição r(t) em relação ao tempo t. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Vamos derivar cada componente:
  • Derivada de r cos(omega t) em relação a t:
    ddt[r cos(omega t)] = -r omega sin(omega t)
  • Derivada de r sin(omega t) em relação a t:
    ddt[r sin(omega t)] = r omega cos(omega t)
Então, a velocidade fica:
v(t) = -r omega sin(omega t) x + r omega cos(omega t) y

Passo 4

Comentando o resultado: A velocidade v(t) está sempre perpendicular ao vetor posição r(t), o que faz sentido no movimento circular uniforme, já que a velocidade é tangente à trajetória do movimento. Além disso, a magnitude da velocidade é constante e igual a v = romega, confirmando que o movimento é realmente uniforme.

Resposta

A velocidade do carro de passeio é dada por:
v(t) = -r omega sin(omega t) x + r omega cos(omega t) y

Exercícios relacionados