Um carro de passeio está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas x y (ou r theta ). Obtenha: a aceleração a(t) do carro de passeio. Comente o resultado em relação aos itens (a) e (b).

Passo 1

Beleza, então o exercício fala de um carro que está fazendo um movimento circular uniforme em volta da origem de um sistema de coordenadas x y ou r theta. A matéria que vamos usar aqui é a de movimento circular uniforme e aceleração centrípeta. Para resolver isso, precisamos lembrar como calcular a aceleração nesse tipo de movimento e aplicar as fórmulas corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no movimento circular uniforme, a velocidade do carro tem magnitude constante, mas a direção está sempre mudando porque ele está fazendo uma trajetória circular. Essa mudança na direção da velocidade gera uma aceleração chamada aceleração centrípeta. Essa aceleração sempre aponta para o centro da trajetória circular.

Passo 3

A aceleração centrípeta pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
a(t) = -omega^2 r(t)
Aqui, omega é a velocidade angular do carro, e r(t) é o vetor posição do carro em função do tempo. O sinal negativo indica que a aceleração está direcionada para o centro.

Passo 4

Outra maneira de calcular a aceleração centrípeta é usando a relação entre a velocidade linear v e a aceleração:
ac = v^2r
Onde v é a velocidade linear do carro e r é o raio da trajetória circular. Essa fórmula mostra que a aceleração centrípeta aumenta com o quadrado da velocidade e diminui com o aumento do raio.

Passo 5

Como estamos lidando com movimento circular uniforme, sabemos que a velocidade angular omega está relacionada com a velocidade linear v pela fórmula:
omega = vr
Substituindo isso na fórmula da aceleração centrípeta, temos:
a(t) = -omega^2 r(t) = -(vr)^2 r(t) = -v^2r r
Aqui, r é o vetor unitário na direção do raio, apontando para fora do centro.

Resposta

A aceleração do carro de passeio é:
a(t) = -omega^2 r(t) ou a(t) = -v^2r r
Isso significa que a aceleração centrípeta está sempre apontando para o centro da trajetória circular, garantindo que o carro mantenha seu movimento circular uniforme.

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