Determine o resultado da integral definida e assinale a alternativa correta. 0∫2(x+5x²)dx
a. 3/41
b. 42
c. 46/3
d. 40/3
e. 6/42

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^2 (x + 5x^2) , dx. Este exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de integração para polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral definida nos dá a área sob a curva da função f(x) = x + 5x^2 entre os limites 0 e 2. Para encontrar essa área, precisamos encontrar a antiderivada da função.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C.

Passo 4

Aplicando a regra aos termos da função:
integral (x + 5x^2) , dx = integral x , dx + 5 integral x^2 , dx
Integrando cada termo:
integral x , dx = x^22
5 integral x^2 , dx = 5 ( x^33 ) = 5x^33

Passo 5

Então, a antiderivada da função é:
x^22 + 5x^33
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 2.

Passo 6

Primeiro, avaliamos em 2:
2^22 + 5 cdot 2^33 = 42 + 5 cdot 83 = 2 + 403 = 63 + 403 = 463
Agora, avaliamos em 0:
0^22 + 5 cdot 0^33 = 0 + 0 = 0

Passo 7

Subtraindo os valores:
463 - 0 = 463

Resposta

A resposta correta é a alternativa c. 463.

Exercícios relacionados