Seja uma função derivável, com . Se , mostre que a derivada direcional será máxima quando .
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função que é derivável e sua derivada é sempre positiva. A função que estamos trabalhando é . A questão pede para mostrar que a derivada direcional de na direção do vetor é máxima quando .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como a direção do vetor afeta o valor dessa derivada. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada por:
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente . A função depende de e através de , então usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, queremos maximizar a derivada direcional , que é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário . Sabemos que o produto escalar é máximo quando os dois vetores estão na mesma direção. Ou seja, a derivada direcional será máxima quando for paralelo ao gradiente .
Passo 5
Observando o gradiente que calculamos:
Vemos que ele é proporcional ao vetor . Portanto, para que esteja na mesma direção que , deve ser na direção de .
Como , para ser um vetor unitário nessa direção, basta normalizarmos :
Passo 6
Portanto, a derivada direcional será máxima quando estiver na direção de , ou seja, quando .