Encontre o centro e o raio das esferas
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro e o raio de duas esferas. A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente a equação geral da esfera. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação dada para o formato padrão da esfera, que é:
onde é o centro da esfera e é o raio.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Nossa primeira tarefa é reorganizar essa equação para que fique no formato padrão da esfera. Para isso, precisamos completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Primeiro, vamos agrupar os termos iguais:
Agora, vamos completar o quadrado para e para . Completar o quadrado significa adicionar e subtrair o mesmo valor para transformar a expressão em um quadrado perfeito.

Passo 4

Começando com :
Para :
Agora, substituímos de volta na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos o lado direito:

Passo 6

Comparando com o formato padrão , podemos identificar:
  • Centro
  • Raio

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar o processo de completar o quadrado.

Passo 8

Dividindo tudo por 2:
Agora, vamos agrupar os termos iguais:

Passo 9

Vamos completar o quadrado para cada variável. Para uma expressão , o termo para completar o quadrado é .
Para :
Para :
Para :

Passo 10

Substituindo de volta na equação:
Vamos somar os termos constantes:

Passo 11

Isolando os termos quadráticos:

Passo 12

Comparando com o formato padrão , identificamos:
  • Centro
  • Raio

Resposta

(a) Centro: , Raio:
(b) Centro: , Raio:

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
( )