Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro e o raio de duas esferas. A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente a equação geral da esfera. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação dada para o formato padrão da esfera, que é:
onde é o centro da esfera e é o raio.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Nossa primeira tarefa é reorganizar essa equação para que fique no formato padrão da esfera. Para isso, precisamos completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .
Passo 3
Primeiro, vamos agrupar os termos iguais:
Agora, vamos completar o quadrado para e para . Completar o quadrado significa adicionar e subtrair o mesmo valor para transformar a expressão em um quadrado perfeito.
Passo 4
Começando com :
Para :
Agora, substituímos de volta na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos o lado direito:
Passo 6
Comparando com o formato padrão , podemos identificar:
Centro
Raio
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar o processo de completar o quadrado.
Passo 8
Dividindo tudo por 2:
Agora, vamos agrupar os termos iguais:
Passo 9
Vamos completar o quadrado para cada variável. Para uma expressão , o termo para completar o quadrado é .