Encontre o centro e o raio das esferas
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro e o raio de duas esferas. A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente a equação geral da esfera. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação dada para o formato padrão da esfera, que é:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Nossa primeira tarefa é reorganizar essa equação para que fique no formato padrão da esfera. Para isso, precisamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos agrupar os termos iguais:
Agora, vamos completar o quadrado para
e para
. Completar o quadrado significa adicionar e subtrair o mesmo valor para transformar a expressão em um quadrado perfeito.
Passo 4
Começando com
:
Para
:
Agora, substituímos de volta na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos o lado direito:
Passo 6
Comparando com o formato padrão
, podemos identificar:
- Centro
- Raio
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar o processo de completar o quadrado.
Passo 8
Dividindo tudo por 2:
Agora, vamos agrupar os termos iguais:
Passo 9
Vamos completar o quadrado para cada variável. Para uma expressão
, o termo para completar o quadrado é
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Substituindo de volta na equação:
Vamos somar os termos constantes:
Passo 11
Isolando os termos quadráticos:
Passo 12
Comparando com o formato padrão
, identificamos:
- Centro
- Raio
Resposta
(a) Centro:
, Raio:
(b) Centro:
, Raio: