(1,5) Determine a saída se a entrada for o sinal x[n]=3(12)^n u[n].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual é a saída quando a entrada é o sinal . Estamos lidando com sinais discretos e sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). Para resolver isso, vamos precisar entender como um sistema LTI responde a uma entrada específica, usando conceitos como convolução e resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em sistemas LTI, a saída y[n] = x[n] * h[n] = sumk=-infty^infty x[k] cdot h[n - k] é o resultado da convolução entre a entrada e a resposta ao impulso do sistema. A fórmula da convolução é:
Mas, para aplicar essa fórmula, a gente precisa saber qual é a resposta ao impulso do sistema. Como ela não foi fornecida na questão, vou assumir que o sistema é de primeira ordem, onde , onde é uma constante.

Passo 3

Vamos supor que y[n] = sumk=0^n 3(12)^k cdot (12)^n - k . Agora, substituímos y[n] = 3(12)^n sumk=0^n 1 = 3(12)^n (n + 1) e na fórmula da convolução:
Simplificando a expressão:

Resposta

A saída é .

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