Determine quando u e v são L D ou L I.
a) u=(1,-3), v=(3,4)
b) u=(4,3,-2), v=(2,-6,7)
c) u=[ccc1 & -2 & 4 3 & 0 & -1], v=[ccc2 & -4 & 8 6 & 0 & -2]
d) u=2-5 t+6 t^2-t^3, v=1-52 t+3 t^2-12 t^3
e) u=-5+2 t-8 t^2, v=2+3 t-5 t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quando dois vetores e são linearmente dependentes (L.D) ou linearmente independentes (L.I). Vamos trabalhar com cada item de a) a e) separadamente. Para isso, precisamos entender o que significa vetores serem L.D ou L.I. Basicamente, se um vetor é múltiplo do outro, eles são dependentes; caso contrário, são independentes.

Passo 2

a) 3 = k cdot 1 Rightarrow k = 3 , 4 = k cdot (-3) Rightarrow 4 = -3k Rightarrow k = -43
Primeiro, vamos ver se existe um número real tal que .
Vamos comparar as componentes:
Como encontramos valores diferentes para , não existe um único que satisfaça ambas as equações. Portanto, e são linearmente independentes.

Passo 3

b) 2 = k cdot 4 Rightarrow k = 12 , -6 = k cdot 3 Rightarrow k = -2
Vamos tentar encontrar um escalar 7 = k cdot (-2) Rightarrow k = -72 tal que .
Comparando as componentes:
Os valores de são diferentes em cada caso, então não existe um único que funcione para todas as componentes. Assim, e são linearmente independentes.

Passo 4

c) 1 & -2 & 4 3 & 0 & -1, 2 & -4 & 8 6 & 0 & -2
Aqui, estamos lidando com matrizes. Vamos verificar se 21 = 2, -4-2 = 2, 84 = 2 é um múltiplo de 63 = 2, 00 (indeterminado), -2-1 = 2 .
Observando as entradas:
Todas as entradas das primeiras linhas são multiplicadas por 2. A segunda linha também segue o mesmo padrão. Portanto, , o que significa que são linearmente dependentes.

Passo 5

d) 1 = k cdot 2 Rightarrow k = 12 , -52 = k cdot (-5) Rightarrow k = 12
Vamos verificar se existe um escalar 3 = k cdot 6 Rightarrow k = 12 tal que -12 = k cdot (-1) Rightarrow k = 12 .
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Todos os coeficientes dão o mesmo valor para , que é . Portanto, , então são linearmente dependentes.

Passo 6

e) 2 = k cdot (-5) Rightarrow k = -25 , 3 = k cdot 2 Rightarrow k = 32
Vamos tentar encontrar um escalar -5 = k cdot (-8) Rightarrow k = 58 tal que .
Comparando os coeficientes:
Os valores de são diferentes para cada termo, então não existe um único que satisfaça todas as equações. Logo, e são linearmente independentes.

Resposta

e são linearmente independentes.

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