Determine quando
e
são
ou
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quando dois vetores
e
são linearmente dependentes (L.D) ou linearmente independentes (L.I). Vamos trabalhar com cada item de a) a e) separadamente. Para isso, precisamos entender o que significa vetores serem L.D ou L.I. Basicamente, se um vetor é múltiplo do outro, eles são dependentes; caso contrário, são independentes.
Passo 2
a)
,
Primeiro, vamos ver se existe um número real
tal que
.
Vamos comparar as componentes:
Como encontramos valores diferentes para
, não existe um único
que satisfaça ambas as equações. Portanto,
e
são linearmente independentes.
Passo 3
b)
,
Vamos tentar encontrar um escalar
tal que
.
Comparando as componentes:
Os valores de
são diferentes em cada caso, então não existe um único
que funcione para todas as componentes. Assim,
e
são linearmente independentes.
Passo 4
c)
,
Aqui, estamos lidando com matrizes. Vamos verificar se
é um múltiplo de
.
Observando as entradas:
Todas as entradas das primeiras linhas são multiplicadas por 2. A segunda linha também segue o mesmo padrão. Portanto,
, o que significa que são linearmente dependentes.
Passo 5
d)
,
Vamos verificar se existe um escalar
tal que
.
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Todos os coeficientes dão o mesmo valor para
, que é
. Portanto,
, então são linearmente dependentes.
Passo 6
e)
,
Vamos tentar encontrar um escalar
tal que
.
Comparando os coeficientes:
Os valores de
são diferentes para cada termo, então não existe um único
que satisfaça todas as equações. Logo,
e
são linearmente independentes.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
.
Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial de
.
a)
b)
c) são racionais
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Mostre que se
gera um espaço vetorial
e se
é uma combinação linear de
e
, então
ainda geram
.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde