Determine quando e são ou .
a)
b)
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quando dois vetores e são linearmente dependentes (L.D) ou linearmente independentes (L.I). Vamos trabalhar com cada item de a) a e) separadamente. Para isso, precisamos entender o que significa vetores serem L.D ou L.I. Basicamente, se um vetor é múltiplo do outro, eles são dependentes; caso contrário, são independentes.

Passo 2

a) ,
Primeiro, vamos ver se existe um número real tal que .
Vamos comparar as componentes:
Como encontramos valores diferentes para , não existe um único que satisfaça ambas as equações. Portanto, e são linearmente independentes.

Passo 3

b) ,
Vamos tentar encontrar um escalar tal que .
Comparando as componentes:
Os valores de são diferentes em cada caso, então não existe um único que funcione para todas as componentes. Assim, e são linearmente independentes.

Passo 4

c) ,
Aqui, estamos lidando com matrizes. Vamos verificar se é um múltiplo de .
Observando as entradas:
Todas as entradas das primeiras linhas são multiplicadas por 2. A segunda linha também segue o mesmo padrão. Portanto, , o que significa que são linearmente dependentes.

Passo 5

d) ,
Vamos verificar se existe um escalar tal que .
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Todos os coeficientes dão o mesmo valor para , que é . Portanto, , então são linearmente dependentes.

Passo 6

e) ,
Vamos tentar encontrar um escalar tal que .
Comparando os coeficientes:
Os valores de são diferentes para cada termo, então não existe um único que satisfaça todas as equações. Logo, e são linearmente independentes.

Resposta

e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde .
Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos é um subespaço vetorial de .
a)
b)
c) são racionais
d)
e)
f)
g)
h)
Mostre que se gera um espaço vetorial e se é uma combinação linear de e , então ainda geram .
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde