Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o conjunto é um subespaço de , onde é o conjunto de todas as matrizes . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se atende às condições necessárias para ser um.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor nulo: No nosso caso, a matriz nula deve estar em .
Fechado sob adição: Se pegar duas matrizes qualquer de e somar, o resultado também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegar uma matriz de e multiplicar por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor nulo:
A matriz nula em é:
Somando os elementos: , que satisfaz a condição . Portanto, a matriz nula está em .
Passo 4
2. Verificando se é fechada sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de :
Sabemos que para ambas, e .
Somando e :
A soma dos elementos é .
Então, também satisfaz , ou seja, .
Passo 5
3. Verificando se é fechada sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer de :
Sabemos que .
Multiplicando por um escalar :
A soma dos elementos de é .
Então, também satisfaz , ou seja, .
Resposta
Sim, o conjunto é um subespaço de pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.