Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o conjunto
é um subespaço de
, onde
é o conjunto de todas as matrizes
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
atende às condições necessárias para ser um.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor nulo: No nosso caso, a matriz nula deve estar em
. - Fechado sob adição: Se pegar duas matrizes qualquer de
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegar uma matriz de
e multiplicar por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor nulo:
A matriz nula em
é:
Somando os elementos:
, que satisfaz a condição
. Portanto, a matriz nula está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechada sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de
:
Sabemos que para ambas,
e
.
Somando
e
:
A soma dos elementos é
.
Então,
também satisfaz
, ou seja,
.
Passo 5
3. Verificando se
é fechada sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer de
:
Sabemos que
.
Multiplicando
por um escalar
:
A soma dos elementos de
é
.
Então,
também satisfaz
, ou seja,
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.