Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o conjunto é um subespaço de , onde é o conjunto de todas as matrizes . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se atende às condições necessárias para ser um.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor nulo: No nosso caso, a matriz nula deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegar duas matrizes qualquer de e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegar uma matriz de e multiplicar por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor nulo:
A matriz nula em é:
Somando os elementos: , que satisfaz a condição . Portanto, a matriz nula está em .

Passo 4

2. Verificando se é fechada sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de :
Sabemos que para ambas, e .
Somando e :
A soma dos elementos é .
Então, também satisfaz , ou seja, .

Passo 5

3. Verificando se é fechada sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer de :
Sabemos que .
Multiplicando por um escalar :
A soma dos elementos de é .
Então, também satisfaz , ou seja, .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados

Mostre que se gera um espaço vetorial e se é uma combinação linear de e , então ainda geram .
Determine quando e são ou .
a)
b)
c)
d)
e)
Mostre que não pode ser combinação linear de e .
Seja um subespaço de . Determine uma base para .