Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justifique sua resposta. W=[lla & b c & d] in M(2): a+b+c+d=0 onde E=M(2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o conjunto W é um subespaço de E, onde E é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se W atende às condições necessárias para ser um.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor nulo: No nosso caso, a matriz nula deve estar em W.
  2. Fechado sob adição: Se pegar duas matrizes qualquer de W e somar, o resultado também deve estar em W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegar uma matriz de W e multiplicar por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar em W.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W.

Passo 3

1. Verificando se W contém o vetor nulo:
A matriz nula em M(2) é:
0 & 0 0 & 0
Somando os elementos: 0 + 0 + 0 + 0 = 0, que satisfaz a condição a + b + c + d = 0. Portanto, a matriz nula está em W.

Passo 4

2. Verificando se W é fechada sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de W:
A = a & b c & d , B = e & f g & h
Sabemos que para ambas, a + b + c + d = 0 e e + f + g + h = 0.
Somando A e B:
A + B = a+e & b+f c+g & d+h
A soma dos elementos é (a+e) + (b+f) + (c+g) + (d+h) = (a + b + c + d) + (e + f + g + h) = 0 + 0 = 0.
Então, A + B também satisfaz a + b + c + d = 0, ou seja, A + B in W.

Passo 5

3. Verificando se W é fechada sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer de W:
A = a & b c & d
Sabemos que a + b + c + d = 0.
Multiplicando A por um escalar k:
kA = k a & k b k c & k d
A soma dos elementos de kA é (k a) + (k b) + (k c) + (k d) = k(a + b + c + d) = k cdot 0 = 0.
Então, kA também satisfaz a + b + c + d = 0, ou seja, kA in W.

Resposta

Sim, o conjunto W é um subespaço de E pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

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