Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justifique sua resposta. W=(x, y, z) in R^3: x=z^2 onde E=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto W = (x, y, z) in R^3: x = z^2 é um subespaço do espaço tridimensional E = R^3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar três condições fundamentais para saber se W é realmente um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto W é um subespaço de R^3 se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) precisa estar em W.
  2. Fechado por adição: Se você pegar dois vetores qualquer de W e somar, o resultado também deve estar em W.
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de W por um número real, o vetor resultante também deve estar em W.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em W:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a condição x = z^2:
x = 0 = (0)^2 = 0
Então, sim, o vetor zero pertence a W.
2. Verificando a fechamento por adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer de W:
u = (z1^2, y1, z1) e v = (z2^2, y2, z2)
Agora, vamos somar esses vetores:
u + v = (z1^2 + z2^2, y1 + y2, z1 + z2)
Para que u + v esteja em W, a primeira coordenada deve ser igual ao quadrado da terceira coordenada:
z1^2 + z2^2 stackrel?= (z1 + z2)^2
Calculando o lado direito:
(z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
Claramente,
z1^2 + z2^2 neq z1^2 + 2z1z2 + z2^2 a menos que z1z2 = 0
Isso significa que, em geral, a adição de dois vetores de W não resulta em um vetor que satisfaz x = z^2. Portanto, W não é fechado por adição.
3. Verificando a fechamento por multiplicação por escalar:
Apesar de já termos concluído que W não é um subespaço, vamos verificar essa última condição para entender melhor.
Tomemos um vetor qualquer de W:
u = (z^2, y, z)
E multipliquemos por um escalar c:
cu = (c z^2, c y, c z)
Para que cu esteja em W, precisamos que:
c z^2 = (c z)^2 Rightarrow c z^2 = c^2 z^2
Isso só é verdadeiro se c = c^2, ou seja, c = 0 ou c = 1. Para outros valores de c, a igualdade não se mantém, o que significa que W não é fechado por multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto W não é um subespaço de R^3 porque não satisfaz as condições de fechamento por adição e multiplicação por escalar.

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