Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto é um subespaço do espaço tridimensional . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar três condições fundamentais para saber se é realmente um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
  2. Fechado por adição: Se você pegar dois vetores qualquer de e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de por um número real, o vetor resultante também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Então, sim, o vetor zero pertence a .
2. Verificando a fechamento por adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer de :
Agora, vamos somar esses vetores:
Para que esteja em , a primeira coordenada deve ser igual ao quadrado da terceira coordenada:
Calculando o lado direito:
Claramente,
Isso significa que, em geral, a adição de dois vetores de não resulta em um vetor que satisfaz . Portanto, não é fechado por adição.
3. Verificando a fechamento por multiplicação por escalar:
Apesar de já termos concluído que não é um subespaço, vamos verificar essa última condição para entender melhor.
Tomemos um vetor qualquer de :
E multipliquemos por um escalar :
Para que esteja em , precisamos que:
Isso só é verdadeiro se , ou seja, ou . Para outros valores de , a igualdade não se mantém, o que significa que não é fechado por multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não satisfaz as condições de fechamento por adição e multiplicação por escalar.

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a)
b)
c) são racionais
d)
e)
f)
g)
h)
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a)
b)
c)
d)
e)
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