Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto
é um subespaço do espaço tridimensional
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar três condições fundamentais para saber se
é realmente um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - Fechado por adição: Se você pegar dois vetores qualquer de
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado por multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de
por um número real, o vetor resultante também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Então, sim, o vetor zero pertence a
.
2. Verificando a fechamento por adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer de
:
Agora, vamos somar esses vetores:
Para que
esteja em
, a primeira coordenada deve ser igual ao quadrado da terceira coordenada:
Calculando o lado direito:
Claramente,
Isso significa que, em geral, a adição de dois vetores de
não resulta em um vetor que satisfaz
. Portanto,
não é fechado por adição.
3. Verificando a fechamento por multiplicação por escalar:
Apesar de já termos concluído que
não é um subespaço, vamos verificar essa última condição para entender melhor.
Tomemos um vetor qualquer de
:
E multipliquemos por um escalar
:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Isso só é verdadeiro se
, ou seja,
ou
. Para outros valores de
, a igualdade não se mantém, o que significa que
não é fechado por multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não satisfaz as condições de fechamento por adição e multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial de
.
a)
b)
c) são racionais
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Encontre uma transformação linear
tal que o vetor
pertence ao núcleo de
e vetor
pertença a imagem de
.
Determine quando
e
são
ou
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Mostre que se
gera um espaço vetorial
e se
é uma combinação linear de
e
, então
ainda geram
.