Mostre que se v1, v2, v3, v4, v5 gera um espaço vetorial V e se v5 é uma combinação linear de v1, v2, v3 e v4, então v1, v2, v3, v4 ainda geram V.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que você me enviou está na área de Álgebra Linear. Basicamente, ele diz que se temos cinco vetores que geram um espaço vetorial , e se o quinto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros quatro ( ), então o conjunto sem o ( ) ainda consegue gerar todo o espaço . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores geram um espaço vetorial . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, se temos vetores que geram , conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço usando esses vetores.

Passo 3

Agora, uma combinação linear de vetores é quando você multiplica cada vetor por um escalar (número) e depois soma esses resultados. Por exemplo, se v5 = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 é uma combinação linear de , podemos escrever:
Onde são números (escalars).

Passo 4

Como pode ser escrito dessa forma, significa que ele não adiciona nada de novo ao espaço que já é gerado por . Em outras palavras, está dependente dos outros quatro vetores.

Passo 5

Portanto, se quisermos gerar o espaço , não precisamos necessariamente dos cinco vetores. Podemos remover o vetor dependente e ainda assim conseguir gerar todo o espaço usando apenas .

Resposta

Assim, mostramos que se geram o espaço e é uma combinação linear dos outros quatro vetores, então o conjunto ainda consegue gerar todo o espaço .

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