Mostre que se
gera um espaço vetorial
e se
é uma combinação linear de
e
, então
ainda geram
.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que você me enviou está na área de Álgebra Linear. Basicamente, ele diz que se temos cinco vetores
que geram um espaço vetorial
, e se o quinto vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos outros quatro (
), então o conjunto sem o
(
) ainda consegue gerar todo o espaço
. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores geram um espaço vetorial
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, se temos vetores que geram
, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço usando esses vetores.
Passo 3
Agora, uma combinação linear de vetores é quando você multiplica cada vetor por um escalar (número) e depois soma esses resultados. Por exemplo, se
é uma combinação linear de
, podemos escrever:
Onde
são números (escalars).
Passo 4
Como
pode ser escrito dessa forma, significa que ele não adiciona nada de novo ao espaço que já é gerado por
. Em outras palavras,
está dependente dos outros quatro vetores.
Passo 5
Portanto, se quisermos gerar o espaço
, não precisamos necessariamente dos cinco vetores. Podemos remover o vetor dependente
e ainda assim conseguir gerar todo o espaço
usando apenas
.
Resposta
Assim, mostramos que se
geram o espaço
e
é uma combinação linear dos outros quatro vetores, então o conjunto
ainda consegue gerar todo o espaço
.
Exercícios relacionados
Determine quando
e
são
ou
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
Mostre que
não pode ser combinação linear de
e
.