Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Então, temos que encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia enquanto a outra permanece constante.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Dividindo toda a equação por 3:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Passo 5
Agora, encontramos os valores de
correspondentes usando
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
e
, o ponto é um mínimo relativo.
Para
:
Como
, o ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
: mínimo relativo -
: ponto de sela