Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = x^3 + y^2 - 6xy + 9x + 5y + 2

Passo 1

Então, temos que encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia enquanto a outra permanece constante.
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação, podemos isolar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Dividindo toda a equação por 3:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .

Passo 5

Agora, encontramos os valores de correspondentes usando :
Para :
Para :
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 6

Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como e , o ponto é um mínimo relativo.
Para :
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : mínimo relativo
  • : ponto de sela

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