Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + x*y + y^2 + 3*x - 3*y + 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos críticos, a gente tem que calcular as derivadas parciais da função em relação a e e igualá-las a zero. Isso porque nos pontos críticos, a inclinação nas direções e é nula.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Da equação (1):
Substituímos na equação (2):
Agora, substituímos na equação :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Para classificar o ponto crítico, usamos o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :
Como e , isso significa que o ponto crítico é um mínimo relativo.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , que é um mínimo relativo.

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