Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e dizer se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos críticos, a gente tem que calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e igualá-las a zero. Isso porque nos pontos críticos, a inclinação nas direções
e
é nula.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Da equação (1):
Substituímos
na equação (2):
Agora, substituímos
na equação
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Para classificar o ponto crítico, usamos o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso significa que o ponto crítico
é um mínimo relativo.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, que é um mínimo relativo.