Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar os pontos críticos da função
e determinar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, vamos classificar o ponto crítico
para determinar se é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um máximo relativo.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um máximo relativo.