Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 5 - x^2 - y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar os pontos críticos da função e determinar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 3

Agora, vamos classificar o ponto crítico para determinar se é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um máximo relativo.

Resposta

O único ponto crítico é , que é um máximo relativo.

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