Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial de funções de várias variáveis, especificamente encontrando as derivadas parciais e analisando a natureza dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a inclinação da superfície é zero, ou seja, onde estão os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 5
Calculamos o discriminante
da segunda derivada, que é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Analisamos o discriminante
e a segunda derivada
:
- Se
e , então temos um mínimo relativo. - Se
e , então temos um máximo relativo. - Se
, então o ponto é de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, portanto o ponto crítico é um máximo relativo.
Resposta
O ponto crítico da função
é
e é classificado como um máximo relativo.