Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 2xy - 5x^2 - 2y^2 + 4x + 4y - 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial de funções de várias variáveis, especificamente encontrando as derivadas parciais e analisando a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a inclinação da superfície é zero, ou seja, onde estão os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos na expressão de :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 5

Calculamos o discriminante da segunda derivada, que é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 6

Analisamos o discriminante e a segunda derivada :
  • Se e , então temos um mínimo relativo.
  • Se e , então temos um máximo relativo.
  • Se , então o ponto é de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , portanto o ponto crítico é um máximo relativo.

Resposta

O ponto crítico da função é e é classificado como um máximo relativo.

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