Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os pontos críticos da função
e dizer se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Os pontos críticos acontecem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Vamos resolver o sistema:
Passo 4
Resolvendo as equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto utilizando as segundas derivadas parciais.
Calculamos:
Passo 6
Vamos calcular o discriminante
:
Como
, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função é
e é um ponto de sela.