Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = x^2 - y^2 - 2x + 4y + 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Os pontos críticos acontecem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Vamos resolver o sistema:

Passo 4

Resolvendo as equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto utilizando as segundas derivadas parciais.
Calculamos:

Passo 6

Vamos calcular o discriminante :
Como , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é e é um ponto de sela.

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