Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 2 x^2 + 3 x y + 4 y^2 - 5 x + 2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e depois dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a análise do determinante da matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os possíveis pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para e .

Passo 4

Vamos resolver a equação (1) para :
Agora, substituímos na equação (2):
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Substituindo na expressão para :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, calculamos as derivadas de segunda ordem e formamos a matriz Hessiana:
A matriz Hessiana é:
Calculamos o determinante de :

Passo 6

Com o determinante positivo ( ) e , isso significa que o ponto crítico é um mínimo relativo.

Resposta

O ponto crítico da função é e ele é um mínimo relativo.

Exercícios relacionados