Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e depois dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a análise do determinante da matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os possíveis pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para
e
.
Passo 4
Vamos resolver a equação (1) para
:
Agora, substituímos
na equação (2):
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Substituindo
na expressão para
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, calculamos as derivadas de segunda ordem e formamos a matriz Hessiana:
A matriz Hessiana
é:
Calculamos o determinante de
:
Passo 6
Com o determinante positivo (
) e
, isso significa que o ponto crítico
é um mínimo relativo.
Resposta
O ponto crítico da função é
e ele é um mínimo relativo.