Determine os valores máximos e mínimos de f no conjunto D.
f(x, y) = 3 + x*y - x - 2*y, D é a região triangular fechada, com vértices (1,0),(5,0) e 1,4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função dentro da região triangular que tem os vértices em , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de funções de duas variáveis, como encontrar pontos críticos e analisar os limites da região triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, a gente calcula as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é . Precisamos verificar se esse ponto está dentro da região . Olhando os vértices, vemos que varia de 1 a 5 e de 0 a 4, então está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas bordas da região .
Primeiro, calculamos no ponto crítico:
Em seguida, precisamos avaliar nas bordas do triângulo. As bordas são:
  1. Borda entre (1,0) e (5,0): Aqui, . A função fica:
    Isso é uma função linear em . Avaliando nos extremos:
  2. Borda entre (5,0) e (1,4): Vamos parametrizar essa linha. A equação da reta que passa por esses pontos pode ser escrita como:
    Substituindo na função:
    Essa é uma parábola que abre para baixo. O vértice está em :
    Então, . Avaliando nos extremos:
  3. Borda entre (1,4) e (1,0): Aqui, . A função fica:
    É uma função linear em . Avaliando nos extremos:

Passo 4

Agora, vamos juntar todos os valores que encontramos:
  • No ponto crítico :
  • Nas bordas:
Comparando esses valores, vemos que o valor máximo é 2 e o mínimo é -2.

Resposta

Os valores máximos e mínimos da função na região são:
  • Máximo:
  • Mínimo:

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