Determine os valores máximos e mínimos de
no conjunto
.
é a região triangular fechada, com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
dentro da região triangular
que tem os vértices em
,
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de funções de duas variáveis, como encontrar pontos críticos e analisar os limites da região triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, a gente calcula as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se esse ponto está dentro da região
. Olhando os vértices, vemos que
varia de 1 a 5 e
de 0 a 4, então
está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas bordas da região
.
Primeiro, calculamos
no ponto crítico:
Em seguida, precisamos avaliar
nas bordas do triângulo. As bordas são:
-
Borda entre (1,0) e (5,0): Aqui,
. A função fica: Isso é uma função linear em. Avaliando nos extremos: -
Borda entre (5,0) e (1,4): Vamos parametrizar essa linha. A equação da reta que passa por esses pontos pode ser escrita como:Substituindo na função:Essa é uma parábola que abre para baixo. O vértice está em
: Então,. Avaliando nos extremos: -
Borda entre (1,4) e (1,0): Aqui,
. A função fica: É uma função linear em. Avaliando nos extremos:
Passo 4
Agora, vamos juntar todos os valores que encontramos:
- No ponto crítico
: - Nas bordas:
-
Comparando esses valores, vemos que o valor máximo é 2 e o mínimo é -2.
Resposta
Os valores máximos e mínimos da função
na região
são:
- Máximo:
- Mínimo: