Determine a seção de choque diferencial do espalhamento de uma partícula por um poço de potencial esférico de raio e de profundidade .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar a seção de choque diferencial do espalhamento de uma partícula por um poço de potencial esférico. Isso envolve Física Quântica, especificamente o estudo do espalhamento de partículas por potenciais. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de seção de choque, a forma do potencial dado e como resolver a equação de Schrödinger para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a seção de choque diferencial. Ela nos dá a probabilidade de uma partícula ser espalhada em um ângulo específico . Matematicamente, é definida como:
onde é a amplitude de espalhamento e é o elemento de sólido.

Passo 3

O próximo passo é resolver a equação de Schrödinger para a partícula que está se movendo sob a influência do potencial dado:
Aqui, é o raio do poço de potencial e é a profundidade do potencial.

Passo 4

Vamos considerar soluções da equação de Schrödinger em duas regiões: fora do poço ( ) e dentro do poço ( ).
Para , o potencial é zero, então a solução geral da equação radial é:
onde , é a massa da partícula, é a energia, e é o deslocamento de fase.

Passo 5

Para , o potencial é constante . A solução da equação radial nessa região é:
onde .

Passo 6

Precisamos agora aplicar as condições de contorno para garantir que a função de onda e sua derivada sejam contínuas em . Isso nos dá duas equações que podemos resolver para encontrar a relação entre e , e consequentemente, o deslocamento de fase .

Passo 7

Após aplicar as condições de contorno e resolver para , obtemos uma expressão para o deslocamento de fase em termos de , e .

Passo 8

Com o deslocamento de fase conhecido, podemos calcular a amplitude de espalhamento usando a fórmula:
onde são os polinômios de Legendre.

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão da seção de choque diferencial:
Isso nos dá a seção de choque diferencial desejada em termos das variáveis do problema.

Resposta

A seção de choque diferencial para o espalhamento da partícula pelo poço de potencial esférico é dada por:
onde são os deslocamentos de fase obtidos a partir das condições de contorno e são os polinômios de Legendre.

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