Determine a seção de choque diferencial sigma(theta) do espalhamento de uma partícula por um poço de potencial esférico de raio a e de profundidade U0.
U(r)=rr 0, & r>a U0, & r

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar a seção de choque diferencial sigma(theta) do espalhamento de uma partícula por um poço de potencial esférico. Isso envolve Física Quântica, especificamente o estudo do espalhamento de partículas por potenciais. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de seção de choque, a forma do potencial dado e como resolver a equação de Schrödinger para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a seção de choque diferencial. Ela nos dá a probabilidade de uma partícula ser espalhada em um ângulo específico theta. Matematicamente, é definida como:
dsigmadOmega = | f(theta) |^2
onde f(theta) é a amplitude de espalhamento e dOmega é o elemento de sólido.

Passo 3

O próximo passo é resolver a equação de Schrödinger para a partícula que está se movendo sob a influência do potencial dado:
U(r)=ll 0, & r > a U0, & r <= a
Aqui, a é o raio do poço de potencial e U0 é a profundidade do potencial.

Passo 4

Vamos considerar soluções da equação de Schrödinger em duas regiões: fora do poço ( r > a) e dentro do poço ( r <= a).
Para r > a, o potencial é zero, então a solução geral da equação radial é:
Rexterno(r) = A sin(kr + de
onde k = raiz2mEhbar^2, m é a massa da partícula, E é a energia, e de é o deslocamento de fase.

Passo 5

Para r <= a, o potencial é constante U0. A solução da equação radial nessa região é:
Rinterno(r) = B sin(k' r)kr
onde k' = raiz2m(E + U0)hbar^2.

Passo 6

Precisamos agora aplicar as condições de contorno para garantir que a função de onda e sua derivada sejam contínuas em r = a. Isso nos dá duas equações que podemos resolver para encontrar a relação entre A e B, e consequentemente, o deslocamento de fase de.

Passo 7

Após aplicar as condições de contorno e resolver para de, obtemos uma expressão para o deslocamento de fase em termos de k, k' e a.

Passo 8

Com o deslocamento de fase conhecido, podemos calcular a amplitude de espalhamento f(theta) usando a fórmula:
f(theta) = 12ik suml=0^infty (2l + 1) ( e^2ide
onde Pl são os polinômios de Legendre.

Passo 9

Finalmente, substituímos f(theta) na expressão da seção de choque diferencial:
dsigmadOmega = | f(theta) |^2
Isso nos dá a seção de choque diferencial desejada em termos das variáveis do problema.

Resposta

A seção de choque diferencial sigma(theta) para o espalhamento da partícula pelo poço de potencial esférico é dada por:
dsigmadOmega = | 12ik suml=0^infty (2l + 1) ( e^2ide
onde de são os deslocamentos de fase obtidos a partir das condições de contorno e Pl são os polinômios de Legendre.

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