Partindo de seu conhecimento sobre as leis de Newton e cálculo, considerando uma projétil lançado com velocidade inicial v0 e ângulo de lançamento com a horizontal theta, encontre as equações para o deslocamento e velocidade em função do tempo e o alcance do projétil.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as Leis de Newton e cálculo para encontrar as equações de deslocamento e velocidade de um projétil lançado com uma velocidade inicial e um ângulo de lançamento em relação à horizontal. Além disso, temos que calcular o alcance desse projétil. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física sobre movimento projetado e usar cálculo básico para integrar as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0x = v0 cos(theta) nos componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque, no movimento projetado, a movimentação horizontal e vertical são independentes uma da outra.
A componente horizontal é:
v0y = v0 sin(theta)
E a componente vertical é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento horizontal. Como não há aceleração horizontal (a única força atuando é a gravidade, que atua na vertical), a velocidade horizontal vx(t) = v0x = v0 cos(theta) permanece constante ao longo do tempo:
x(t) = v0x cdot t = v0 cos(theta) cdot t
O deslocamento horizontal é simplesmente a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo:

Passo 4

Vamos para o movimento vertical. Aqui, a gravidade vy(t) = v0y - g t = v0 sin(theta) - g t atua para baixo, então a aceleração vertical é y(t) = v0y t - 12 g t^2 = v0 sin(theta) cdot t - 12 g t^2 . A velocidade vertical varia com o tempo:
Para encontrar o deslocamento vertical , integramos a velocidade vertical em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o tempo total de voo do projétil. O projétil atinge o solo quando v0 sin(theta) cdot t - 12 g t^2 = 0 . Então, resolvemos a equação:
t ( v0 sin(theta) - 12 g t ) = 0
Fatorando t = 2 v0 sin(theta)g :
Então, temos duas soluções: (no lançamento) e:
Esse é o tempo total de voo .

Passo 6

Finalmente, para encontrar o alcance R = x(T) = v0 cos(theta) cdot T = v0 cos(theta) cdot 2 v0 sin(theta)g do projétil, que é a distância horizontal percorrida durante todo o voo, usamos o tempo total de voo na equação do deslocamento horizontal:
R = v0^2 sin(2theta)g
Simplificando:

Resposta

As equações para o deslocamento e velocidade em função do tempo são:
x(t) = v0 cos(theta) cdot t
y(t) = v0 sin(theta) cdot t - 12 g t^2
vx(t) = v0 cos(theta)
vy(t) = v0 sin(theta) - g t
E o alcance do projétil é:
R = v0^2 sin(2theta)g

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