Partindo de seu conhecimento sobre as leis de Newton e cálculo, considerando uma projétil lançado com velocidade inicial
ângulo de lançamento com a horizontal
, encontre as equações para o deslocamento e velocidade em função do tempo e o alcance do projétil.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as Leis de Newton e cálculo para encontrar as equações de deslocamento e velocidade de um projétil lançado com uma velocidade inicial
e um ângulo de lançamento
em relação à horizontal. Além disso, temos que calcular o alcance desse projétil. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física sobre movimento projetado e usar cálculo básico para integrar as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial
nos componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque, no movimento projetado, a movimentação horizontal e vertical são independentes uma da outra.
A componente horizontal é:
E a componente vertical é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento horizontal. Como não há aceleração horizontal (a única força atuando é a gravidade, que atua na vertical), a velocidade horizontal
permanece constante ao longo do tempo:
O deslocamento horizontal
é simplesmente a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo:
Passo 4
Vamos para o movimento vertical. Aqui, a gravidade
atua para baixo, então a aceleração vertical é
. A velocidade vertical
varia com o tempo:
Para encontrar o deslocamento vertical
, integramos a velocidade vertical em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o tempo total de voo do projétil. O projétil atinge o solo quando
. Então, resolvemos a equação:
Fatorando
:
Então, temos duas soluções:
(no lançamento) e:
Esse é o tempo total de voo
.
Passo 6
Finalmente, para encontrar o alcance
do projétil, que é a distância horizontal percorrida durante todo o voo, usamos o tempo total de voo na equação do deslocamento horizontal:
Simplificando:
Resposta
As equações para o deslocamento e velocidade em função do tempo são:
E o alcance do projétil é:
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