Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem dois conjuntos de matrizes
, chamados
e
. Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais do espaço das matrizes
. Além disso, temos que encontrar a interseção
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço. Também vamos precisar entender como encontrar a interseção de dois subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar essas condições para
e
.
Passo 3
Vamos começar com
.
- Vetor zero: A matriz zero é quando
, então está em . - Fechamento por adição: Se temos duas matrizes em
:
Que também está em
.
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar
:
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em
Ainda está em
.
Então,
é um subespaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos verificar
.
- Vetor zero: A matriz zero é quando
, então está em . - Fechamento por adição: Se temos duas matrizes em
:
Que também está em
.
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar
:
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em
Ainda está em
.
Então,
também é um subespaço vetorial.
Passo 5
Agora que sabemos que
e
são subespaços vetoriais, vamos encontrar a interseção
. Isso significa encontrar todas as matrizes que estão em ambos os conjuntos
e
.
Uma matriz está em
se ela satisfaz as condições de ambos os conjuntos. Ou seja, ela deve ter
(de
) e
(de
).
Então, a matriz geral dessa interseção será:
Resposta
A interseção
é o conjunto de todas as matrizes
da forma: