Mostre que
V1=[ll a & b c & d ]: c=d=0
e
V2=[ll a & b c & d ]: b=0
são subespaços vetoriais de M2 times 2. Determine V1 cap V2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem dois conjuntos de matrizes , chamados e . Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais do espaço das matrizes . Além disso, temos que encontrar a interseção .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço. Também vamos precisar entender como encontrar a interseção de dois subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar essas condições para e .

Passo 3

Vamos começar com V1 = a & b 0 & 0 : a, b in R .
0 & 0 0 & 0 é o conjunto de todas as matrizes a & b 0 & 0 + a' & b' 0 & 0 = a + a' & b + b' 0 & 0 onde alpha a & b 0 & 0 = alpha a & alpha b 0 & 0 , ou seja:
  1. Vetor zero: A matriz zero é quando , então está em .
  2. Fechamento por adição: Se temos duas matrizes em :
Que também está em .
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar :
Ainda está em .
Então, é um subespaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos verificar V2 = a & 0 c & d : a, c, d in R .
0 & 0 0 & 0 é o conjunto de todas as matrizes a & 0 c & d + a' & 0 c' & d' = a + a' & 0 c + c' & d + d' onde alpha a & 0 c & d = alpha a & 0 alpha c & alpha d , ou seja:
  1. Vetor zero: A matriz zero é quando , então está em .
  2. Fechamento por adição: Se temos duas matrizes em :
Que também está em .
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar :
Ainda está em .
Então, também é um subespaço vetorial.

Passo 5

Agora que sabemos que V1 cap V2 = a & 0 0 & 0 : a in R e são subespaços vetoriais, vamos encontrar a interseção . Isso significa encontrar todas as matrizes que estão em ambos os conjuntos e .
Uma matriz está em se ela satisfaz as condições de ambos os conjuntos. Ou seja, ela deve ter (de ) e (de ).
Então, a matriz geral dessa interseção será:

Resposta

A interseção V1 cap V2 = a & 0 0 & 0 : a in R é o conjunto de todas as matrizes da forma:

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