Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem dois conjuntos de matrizes , chamados e . Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais do espaço das matrizes . Além disso, temos que encontrar a interseção .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço. Também vamos precisar entender como encontrar a interseção de dois subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
O vetor zero de está em .
Se e estão em , então também está em .
Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar essas condições para e .
Passo 3
Vamos começar com .
é o conjunto de todas as matrizes onde , ou seja:
Vetor zero: A matriz zero é quando , então está em .
Fechamento por adição: Se temos duas matrizes em :
Que também está em .
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar :
Ainda está em .
Então, é um subespaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos verificar .
é o conjunto de todas as matrizes onde , ou seja:
Vetor zero: A matriz zero é quando , então está em .
Fechamento por adição: Se temos duas matrizes em :
Que também está em .
3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um escalar :
Ainda está em .
Então, também é um subespaço vetorial.
Passo 5
Agora que sabemos que e são subespaços vetoriais, vamos encontrar a interseção . Isso significa encontrar todas as matrizes que estão em ambos os conjuntos e .
Uma matriz está em se ela satisfaz as condições de ambos os conjuntos. Ou seja, ela deve ter (de ) e (de ).
Então, a matriz geral dessa interseção será:
Resposta
A interseção é o conjunto de todas as matrizes da forma: