Sejam as bases ordenadas do R^3 :
E=v1, v2, v3=(1,1,1),(2,3,2),(1,5,4) e F=u1, u2, u3=(1,1,0),(1,2,0),(1,2,1).
a) Encontre a matriz mudança de base de E para F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz de mudança de base de para no espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra base e montar a matriz com esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mudança de base. Quando temos duas bases e para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base de para é aquela que transforma as coordenadas de um vetor em relação à base para suas coordenadas em relação à base .

Passo 3

As bases dadas são:
E = v1 = (1,1,1), v2 = (2,3,2), v3 = (1,5,4)
F = u1 = (1,1,0), u2 = (1,2,0), u3 = (1,2,1)
Vamos chamar a matriz de mudança de base de .

Passo 4

Para encontrar vi = a u1 + b u2 + c u3 , precisamos expressar cada vetor de como combinação linear dos vetores de . Ou seja, para cada em , encontramos escalares tais que:

Passo 5

Vamos começar com (1,1,1) = a(1,1,0) + b(1,2,0) + c(1,2,1) :
1 = a + b + c 1 = a + 2b + 2c 1 = 0a + 0b + c
Isso gera o sistema de equações:
Da terceira equação, já sabemos que .

Passo 6

Substituindo 1 = a + b + 1 Rightarrow a + b = 0 Rightarrow a = -b na primeira equação:
1 = a + 2b + 2(1) Rightarrow 1 = a + 2b + 2
E na segunda equação:
1 = -b + 2b + 2 Rightarrow 1 = b + 2 Rightarrow b = -1
Substituindo :
Então, .

Passo 7

Portanto, 1-11. Então, as coordenadas de na base são .

Passo 8

Agora, vamos para (2,3,2) = a(1,1,0) + b(1,2,0) + c(1,2,1) :
2 = a + b + c 3 = a + 2b + 2c 2 = 0a + 0b + c
Sistema de equações:
Da terceira equação, .

Passo 9

Substituindo 2 = a + b + 2 Rightarrow a + b = 0 Rightarrow a = -b na primeira equação:
3 = a + 2b + 2(2) Rightarrow 3 = a + 2b + 4
E na segunda equação:
3 = -b + 2b + 4 Rightarrow 3 = b + 4 Rightarrow b = -1
Substituindo :
Então, .

Passo 10

Assim, 1-12. As coordenadas de na base são .

Passo 11

Por fim, (1,5,4) = a(1,1,0) + b(1,2,0) + c(1,2,1) :
1 = a + b + c 5 = a + 2b + 2c 4 = 0a + 0b + c
Sistema de equações:
Da terceira equação, .

Passo 12

Substituindo 1 = a + b + 4 Rightarrow a + b = -3 Rightarrow a = -3 - b na primeira equação:
5 = a + 2b + 2(4) Rightarrow 5 = a + 2b + 8
E na segunda equação:
5 = -3 - b + 2b + 8 Rightarrow 5 = b + 5 Rightarrow b = 0
Substituindo :
Então, .

Passo 13

Portanto, -304. As coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz de mudança de base de P = 1 & 1 & -3 -1 & -1 & 0 1 & 2 & 4 para é:

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