Sejam as bases ordenadas do : e .
a) Encontre a matriz mudança de base de para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz de mudança de base de para no espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra base e montar a matriz com esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma mudança de base. Quando temos duas bases e para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base de para é aquela que transforma as coordenadas de um vetor em relação à base para suas coordenadas em relação à base .
Passo 3
As bases dadas são:
Vamos chamar a matriz de mudança de base de .
Passo 4
Para encontrar , precisamos expressar cada vetor de como combinação linear dos vetores de . Ou seja, para cada em , encontramos escalares tais que:
Passo 5
Vamos começar com :
Isso gera o sistema de equações:
Da terceira equação, já sabemos que .
Passo 6
Substituindo 1 = a + b + 1 Rightarrow a + b = 0 Rightarrow a = -b na primeira equação:
1 = a + 2b + 2(1) Rightarrow 1 = a + 2b + 2
E na segunda equação:
1 = -b + 2b + 2 Rightarrow 1 = b + 2 Rightarrow b = -1
Substituindo :
Então, .
Passo 7
Portanto, 1-11. Então, as coordenadas de na base são .