Sejam as bases ordenadas do R^3 :
E=v1, v2, v3=(1,1,1),(2,3,2),(1,5,4) e F=u1, u2, u3=(1,1,0),(1,2,0),(1,2,1).
b) Se x=3 v1+2 v2-v3 e y=v1-3 v2+2 v3, encontre as coordenadas de x e y em relação à base ordenada F.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos duas bases ordenadas no espaço tridimensional R^3:
  • Base E = v1, v2, v3 = (1,1,1),(2,3,2),(1,5,4)
  • Base F = u1, u2, u3 = (1,1,0),(1,2,0),(1,2,1)
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos vetores x e y, que estão definidos em termos da base E, mas queremos expressá-los na base F. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar os vetores x e y em termos da base E. Sabemos que:
x = 3v1 + 2v2 - v3
y = v1 - 3v2 + 2v3
Vamos calcular as coordenadas desses vetores em R^3 usando os vetores de E.

Passo 3

Calculando x:
x = 3(1,1,1) + 2(2,3,2) - (1,5,4)
x = (3,3,3) + (4,6,4) - (1,5,4)
x = (3+4-1, 3+6-5, 3+4-4) = (6, 4, 3)

Passo 4

Calculando y:
y = (1,1,1) - 3(2,3,2) + 2(1,5,4)
y = (1,1,1) - (6,9,6) + (2,10,8)
y = (1-6+2, 1-9+10, 1-6+8) = (-3, 2, 3)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as coordenadas de x = (6, 4, 3) e y = (-3, 2, 3) na base F = u1, u2, u3 = (1,1,0),(1,2,0),(1,2,1). Isso significa que queremos achar escalares a, b, c tais que:
x = a u1 + b u2 + c u3
y = d u1 + e u2 + f u3

Passo 6

Vamos montar as equações para x:
(6,4,3) = a(1,1,0) + b(1,2,0) + c(1,2,1)
Isso resulta em:
a + b + c = 6 a + 2b + 2c = 4 0a + 0b + c = 3
Da terceira equação, já sabemos que c = 3.
Substituindo c = 3 nas primeiras equações:
a + b = 6 - 3 = 3 a + 2b = 4 - 2*3 = -2
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a + 2b) - (a + b) = -2 - 3
b = -5
Então, a = 3 - b = 3 - (-5) = 8
Portanto, as coordenadas de x na base F são (8, -5, 3).

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para y = (-3, 2, 3):
(-3,2,3) = d(1,1,0) + e(1,2,0) + f(1,2,1)
Isso resulta em:
d + e + f = -3 d + 2e + 2f = 2 0d + 0e + f = 3
Da terceira equação, f = 3.
Substituindo f = 3 nas primeiras equações:
d + e = -3 - 3 = -6 d + 2e = 2 - 2*3 = -4
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(d + 2e) - (d + e) = -4 - (-6)
e = 2
Então, d = -6 - e = -6 - 2 = -8
Portanto, as coordenadas de y na base F são (-8, 2, 3).

Resposta

As coordenadas dos vetores na base F são:
x = (8, -5, 3)
y = (-8, 2, 3)

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Sejam as bases ordenadas do R^3 :
E=v1, v2, v3=(1,1,1),(2,3,2),(1,5,4) e F=u1, u2, u3=(1,1,0),(1,2,0),(1,2,1).
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A=(lll 1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & a )
Mostre que o conjunto V=p(x) in P^2(x): p(1)=0 é um S.V. de P^2(x). Encontre uma base de V.