Sejam as bases ordenadas do : e .
b) Se e , encontre as coordenadas de e em relação à base ordenada .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos duas bases ordenadas no espaço tridimensional :
Base
Base
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos vetores e , que estão definidos em termos da base , mas queremos expressá-los na base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar os vetores e em termos da base . Sabemos que:
Vamos calcular as coordenadas desses vetores em usando os vetores de .
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as coordenadas de e na base . Isso significa que queremos achar escalares tais que:
Passo 6
Vamos montar as equações para :
Isso resulta em:
Da terceira equação, já sabemos que c = 3.
Substituindo c = 3 nas primeiras equações: a + b = 6 - 3 = 3 a + 2b = 4 - 2*3 = -2
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda: (a + 2b) - (a + b) = -2 - 3 b = -5
Então, a = 3 - b = 3 - (-5) = 8
Portanto, as coordenadas de x na base F são (8, -5, 3).
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para y = (-3, 2, 3):
(-3,2,3) = d(1,1,0) + e(1,2,0) + f(1,2,1)
Isso resulta em: d + e + f = -3 d + 2e + 2f = 2 0d + 0e + f = 3
Da terceira equação, f = 3.
Substituindo f = 3 nas primeiras equações: d + e = -3 - 3 = -6 d + 2e = 2 - 2*3 = -4
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda: (d + 2e) - (d + e) = -4 - (-6) e = 2
Então, d = -6 - e = -6 - 2 = -8
Portanto, as coordenadas de y na base F são (-8, 2, 3).