Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^3 :
(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0).

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir se o conjunto (1,1,1), (1,0,1), (1,1,0) é uma base de R^3. Para isso, vamos precisar entender sobre bases vetoriais em espaços tridimensionais e verificar se esses vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa uma base. Uma base de R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
A = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 times (0 times 0 - 1 times 1) - 1 times (1 times 0 - 1 times 1) + 1 times (1 times 1 - 0 times 1)
det(A) = 1 times (0 - 1) - 1 times (0 - 1) + 1 times (1 - 0)
det(A) = -1 + 1 + 1 = 1

Passo 5

Como o determinante det(A) = 1 neq 0, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores em R^3 e eles são independentes, eles também geram todo o espaço.

Resposta

Sim, o conjunto (1,1,1), (1,0,1), (1,1,0) é uma base de R^3.

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