Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^4 :
(1,3,0,0),(1,1,3,1),(2,2,3,2),(2,3,3,2),(2,4,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos encarar essa questão juntos! O exercício pede para a gente determinar quais dos conjuntos dados são bases do espaço . A gente está lidando com álgebra linear, especificamente com noções de base e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender se os vetores fornecidos são linearmente independentes e se conseguem preencher todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço todo. No caso de , qualquer base precisa ter exatamente 4 vetores.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os vetores que nos foram dados:
(1,3,0,0), (1,1,3,1), (2,2,3,2), (2,3,3,2), (2,4,1,2)
Temos 5 vetores, mas para formar uma base em , só precisamos de 4 vetores. Então, nosso objetivo é verificar se algum subconjunto de 4 vetores desse conjunto é uma base, ou seja, se são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
A = 1 & 1 & 2 & 2 & 2 3 & 1 & 2 & 3 & 4 0 & 3 & 3 & 3 & 1 0 & 1 & 2 & 2 & 2
Mas como precisamos de subconjuntos de 4 vetores, vamos escolher quatro colunas de cada vez e verificar a independência linear.

Passo 5

Vamos começar escolhendo os primeiros quatro vetores:
A1 = 1 & 1 & 2 & 2 3 & 1 & 2 & 3 0 & 3 & 3 & 3 0 & 1 & 2 & 2
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Calculando o determinante de det(A1) = 1 cdot 1 & 2 & 3 3 & 3 & 3 1 & 2 & 2 - 1 cdot 3 & 2 & 3 0 & 3 & 3 0 & 2 & 2 + 2 cdot 3 & 1 & 3 0 & 3 & 3 0 & 1 & 2 - 2 cdot 3 & 1 & 2 0 & 3 & 3 0 & 1 & 2 :
Após calcular, se o determinante for zero, esses vetores são dependentes; se for diferente de zero, são independentes.

Passo 7

Ao calcular, descobrimos que . Isso significa que os primeiros quatro vetores são dependentes. Portanto, esse conjunto não é uma base.

Passo 8

Vamos tentar outro subconjunto. Escolhamos, por exemplo, os vetores 1, 2, 3 e 5:
A2 = 1 & 1 & 2 & 2 3 & 1 & 2 & 4 0 & 3 & 3 & 1 0 & 1 & 2 & 2
Calcularemos novamente o determinante de .

Passo 9

Calculando , descobrimos que também é igual a zero. Isso significa que esse subconjunto também é dependente.

Passo 10

Vamos tentar mais um subconjunto. Escolhamos os vetores 1, 2, 4 e 5:
A3 = 1 & 1 & 2 & 2 3 & 1 & 3 & 4 0 & 3 & 3 & 1 0 & 1 & 2 & 2
Calcularemos .

Passo 11

Após o cálculo, vemos que . Isso quer dizer que os vetores nesse subconjunto são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Resposta

Dentre os conjuntos analisados, apenas o subconjunto formado pelos vetores , , e é uma base de .

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