Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de : .
Passo 1
Beleza, vamos encarar essa questão juntos! O exercício pede para a gente determinar quais dos conjuntos dados são bases do espaço . A gente está lidando com álgebra linear, especificamente com noções de base e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender se os vetores fornecidos são linearmente independentes e se conseguem preencher todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço todo. No caso de , qualquer base precisa ter exatamente 4 vetores.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os vetores que nos foram dados:
Temos 5 vetores, mas para formar uma base em , só precisamos de 4 vetores. Então, nosso objetivo é verificar se algum subconjunto de 4 vetores desse conjunto é uma base, ou seja, se são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Mas como precisamos de subconjuntos de 4 vetores, vamos escolher quatro colunas de cada vez e verificar a independência linear.
Passo 5
Vamos começar escolhendo os primeiros quatro vetores:
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.