Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Decomponha o vetor w=(-1,-3,2)E como soma de dois vetores w1 e w2, com w1 paralelo ao vetor v=(0,1,3)E e w2 ortogonal ao mesmo vetor v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor w = (-1, -3, 2) numa base ortonormal E = e1, e2, e3. A missão é decompor w em dois vetores: w1 que é paralelo a v = (0, 1, 3) e w2 que é ortogonal a v. Pra isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar w1, que é a projeção de w na direção de v. A fórmula para a projeção de w em v é:
w1 = ( w cdot vv cdot v ) v
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar w cdot v:
w cdot v = (-1)(0) + (-3)(1) + (2)(3) = 0 - 3 + 6 = 3

Passo 4

Agora, calculamos v cdot v:
v cdot v = 0^2 + 1^2 + 3^2 = 0 + 1 + 9 = 10

Passo 5

Com esses valores, podemos achar w1:
w1 = ( 310 ) v = ( 310 ) (0, 1, 3) = ( 0, 310, 910 )

Passo 6

Agora, vamos encontrar w2. Sabemos que:
w = w1 + w2
Portanto:
w2 = w - w1 = (-1, -3, 2) - ( 0, 310, 910 ) = ( -1, -3310, 1110 )

Resposta

Então, a decomposição do vetor w é:
w = w1 + w2 = ( 0, 310, 910 ) + ( -1, -3310, 1110 )

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