Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Determine um vetor u tal que |u|=3 raiz3, u seja ortogonal a v=(2,3,-1)E e a w=(2,-4,6)E. Dos vetores determinados qual forma ângulo agudo com o vetor t=(1,-1,0)E ?

Passo 1

Beleza, temos um exercício de vetores aí. A gente precisa encontrar um vetor u que satisfaça três condições:
  1. O módulo (comprimento) de u é .
  2. u é ortogonal, ou seja, perpendicular, aos vetores v = (2, 3, -1) e w = (2, -4, 6).
  3. Entre as possíveis soluções para u, queremos saber qual forma um ângulo agudo com o vetor t = (1, -1, 0).
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial como ortogonalidade e produto vetorial para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor u que seja ortogonal aos vetores v e w, a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de v e w nos dá um vetor que é perpendicular aos dois. Então, vamos calcular v × w.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v × w:
v times w = e1 & e2 & e3 2 & 3 & -1 2 & -4 & 6
Expandindo o determinante:
v times w = e1 (3 cdot 6 - (-1) cdot (-4)) - e2 (2 cdot 6 - (-1) cdot 2) + e3 (2 cdot (-4) - 3 cdot 2)
= e1 (18 - 4) - e2 (12 - (-2)) + e3 (-8 - 6)
= 14,e1 - 14,e2 - 14,e3
Então,
v times w = (14, -14, -14)

Passo 4

Agora que temos v × w = (14, -14, -14), esse vetor é perpendicular a v e w. Mas precisamos que u tenha módulo |v times w| = raiz14^2 + (-14)^2 + (-14)^2 = raiz196 + 196 + 196 = raiz588 = 14raiz3 . Vamos primeiro calcular o módulo de v × w:
|k cdot (v times w)| = 3raiz3
Para que u tenha módulo |k| cdot 14raiz3 = 3raiz3 , precisamos escalar v × w por um fator |k| = 3raiz314raiz3 = 314 tal que:
u = pm 314 cdot (14, -14, -14) = pm (3, -3, -3)
Sabemos que:
Então, .
Portanto, u pode ser:

Passo 5

Agora temos duas possibilidades para u:
u1 = (3, -3, -3) e u2 = (-3, 3, 3)
Queremos saber qual desses vetores forma um ângulo agudo com o vetor t = (1, -1, 0). Um ângulo é agudo se o produto escalar entre os vetores for positivo.
Vamos calcular o produto escalar de u₁ com t:
u1 cdot t = (3)(1) + (-3)(-1) + (-3)(0) = 3 + 3 + 0 = 6 > 0
Agora, o produto escalar de u₂ com t:
u2 cdot t = (-3)(1) + (3)(-1) + (3)(0) = -3 -3 + 0 = -6 < 0
u₁ forma um ângulo agudo com t porque o produto escalar é positivo.

Resposta

O vetor u que satisfaz todas as condições é u = (3, –3, –3).

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