Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir é uma base ortonormal.
Determine um vetor u tal que |u|=3 raiz3, u seja ortogonal a v=(2,3,-1)E e a w=(2,-4,6)E. Dos vetores determinados qual forma ângulo agudo com o vetor t=(1,-1,0)E ?
Passo 1
Beleza, temos um exercício de vetores aí. A gente precisa encontrar um vetor u que satisfaça três condições:
O módulo (comprimento) de u é .
u é ortogonal, ou seja, perpendicular, aos vetores v = (2, 3, -1) e w = (2, -4, 6).
Entre as possíveis soluções para u, queremos saber qual forma um ângulo agudo com o vetor t = (1, -1, 0).
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial como ortogonalidade e produto vetorial para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, para encontrar um vetor u que seja ortogonal aos vetores v e w, a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de v e w nos dá um vetor que é perpendicular aos dois. Então, vamos calcular v × w.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial v × w:
v times w = e1 & e2 & e3 2 & 3 & -1 2 & -4 & 6
Expandindo o determinante:
v times w = e1 (3 cdot 6 - (-1) cdot (-4)) - e2 (2 cdot 6 - (-1) cdot 2) + e3 (2 cdot (-4) - 3 cdot 2)
= e1 (18 - 4) - e2 (12 - (-2)) + e3 (-8 - 6)
= 14,e1 - 14,e2 - 14,e3
Então,
v times w = (14, -14, -14)
Passo 4
Agora que temos v × w = (14, -14, -14), esse vetor é perpendicular a v e w. Mas precisamos que u tenha módulo |v times w| = raiz14^2 + (-14)^2 + (-14)^2 = raiz196 + 196 + 196 = raiz588 = 14raiz3 . Vamos primeiro calcular o módulo de v × w:
|k cdot (v times w)| = 3raiz3
Para que u tenha módulo |k| cdot 14raiz3 = 3raiz3 , precisamos escalar v × w por um fator |k| = 3raiz314raiz3 = 314 tal que:
u = pm 314 cdot (14, -14, -14) = pm (3, -3, -3)
Sabemos que:
Então, .
Portanto, u pode ser:
Passo 5
Agora temos duas possibilidades para u:
u1 = (3, -3, -3) e u2 = (-3, 3, 3)
Queremos saber qual desses vetores forma um ângulo agudo com o vetor t = (1, -1, 0). Um ângulo é agudo se o produto escalar entre os vetores for positivo.