Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que valem 1 na origem.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que valem 1 na origem (ou seja, ) é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, que exigem que certos critérios sejam atendidos.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um espaço vetorial deve conter o vetor nulo. No caso dos polinômios, o vetor nulo é o polinômio que é zero para todo , ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se o conjunto dos polinômios que satisfazem p(0) = 0 inclui o vetor nulo. Avaliando para o polinômio nulo, temos:
Mas, segundo o enunciado, estamos considerando apenas polinômios onde . Portanto, o vetor nulo não está presente nesse conjunto.

Passo 4

Além disso, um espaço vetorial deve ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Mesmo que tentássemos adicionar dois polinômios que valem 1 na origem ou multiplicá-los por um escalar, o resultado não necessariamente atenderia à condição . Por exemplo:
  • Adição: Se e , então .
  • Multiplicação por escalar: Se e multiplicarmos por um escalar , então . Isso só seria igual a 1 se .

Resposta

Portanto, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que valem 1 na origem não é um espaço vetorial.

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