Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que valem 1 na origem.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que valem 1 na origem (ou seja,
) é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, que exigem que certos critérios sejam atendidos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um espaço vetorial deve conter o vetor nulo. No caso dos polinômios, o vetor nulo é o polinômio que é zero para todo
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se o conjunto dos polinômios que satisfazem
inclui o vetor nulo. Avaliando
para o polinômio nulo, temos:
Mas, segundo o enunciado, estamos considerando apenas polinômios onde
. Portanto, o vetor nulo não está presente nesse conjunto.
Passo 4
Além disso, um espaço vetorial deve ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Mesmo que tentássemos adicionar dois polinômios que valem 1 na origem ou multiplicá-los por um escalar, o resultado não necessariamente atenderia à condição
. Por exemplo:
- Adição: Se
e , então . - Multiplicação por escalar: Se
e multiplicarmos por um escalar , então . Isso só seria igual a 1 se .
Resposta
Portanto, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que valem 1 na origem não é um espaço vetorial.
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Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
tais que a soma das suas componentes é 5 .
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
com componentes inteiras.