Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
com componentes inteiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o conjunto de vetores em
que têm todas as componentes inteiras forma um espaço vetorial. Isso cai dentro da matéria de Espaços Vetoriais, onde a gente verifica se um conjunto satisfaz certas regras para ser considerado um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar checar se esse conjunto respeita todas as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um espaço vetorial, ele precisa ser fechado em relação às operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Isso significa que, se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto. Do mesmo jeito, se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos testar a adição de vetores. Suponha que temos dois vetores com componentes inteiras, digamos
e
. Se somarmos esses vetores, temos
, que também tem componentes inteiras. Até aqui, parece que a adição está fechada no conjunto.
Passo 4
Agora, vamos ver a multiplicação por escalar. Pegamos um vetor com componentes inteiras, por exemplo,
, e multiplicamos por um escalar real, como
. Assim,
. Olha só, agora as componentes não são mais inteiras!
Passo 5
Percebemos que a multiplicação por escalar nem sempre mantém as componentes inteiras. Isso significa que o conjunto não é fechado em relação à multiplicação por escalar, o que já quebra uma das regras necessárias para ser um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, o conjunto dos vetores de
com componentes inteiras não é um espaço vetorial.
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.
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