Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios p com coeficientes reais tais que 3 p(1)-5 p(2)=10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre determinar se um certo conjunto de polinômios é um espaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais que satisfazem a condição . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, polinômios) onde você pode adicionar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar, e ainda ficar dentro do conjunto. Além disso, existem algumas propriedades que devem ser satisfeitas, como a existência do elemento zero, a associatividade, a comutatividade da adição, entre outras.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: todos os polinômios que satisfazem . Para verificar se esse conjunto é um espaço vetorial, precisamos ver se ele contém o elemento zero e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 4

Primeiro, verificamos se o elemento zero está no conjunto. O elemento zero no contexto dos polinômios é o polinômio 3 p(1) - 5 p(2) = 3 cdot 0 - 5 cdot 0 = 0 neq 10 . Vamos ver se ele satisfaz a condição:
Como , o polinômio zero não está no conjunto.

Passo 5

A ausência do elemento zero já nos mostra que o conjunto não é um espaço vetorial, porque todo espaço vetorial deve conter o elemento zero. Mas vamos verificar mais um ponto para reforçar isso.

Passo 6

Considere dois polinômios 3 p(1) - 5 p(2) = 10 3 q(1) - 5 q(2) = 10 e 3 (p(1) + q(1)) - 5 (p(2) + q(2)) = 10 + 10 = 20 neq 10 no conjunto, ou seja:
Se somarmos esses dois polinômios, teremos:
Então, a soma de dois polinômios no conjunto não está mais no conjunto.

Resposta

Portanto, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que satisfazem não é um espaço vetorial.

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