Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre determinar se um certo conjunto de polinômios é um espaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto de todos os polinômios
com coeficientes reais que satisfazem a condição
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, polinômios) onde você pode adicionar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar, e ainda ficar dentro do conjunto. Além disso, existem algumas propriedades que devem ser satisfeitas, como a existência do elemento zero, a associatividade, a comutatividade da adição, entre outras.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dado: todos os polinômios
que satisfazem
. Para verificar se esse conjunto é um espaço vetorial, precisamos ver se ele contém o elemento zero e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 4
Primeiro, verificamos se o elemento zero está no conjunto. O elemento zero no contexto dos polinômios é o polinômio
. Vamos ver se ele satisfaz a condição:
Como
, o polinômio zero não está no conjunto.
Passo 5
A ausência do elemento zero já nos mostra que o conjunto não é um espaço vetorial, porque todo espaço vetorial deve conter o elemento zero. Mas vamos verificar mais um ponto para reforçar isso.
Passo 6
Considere dois polinômios
e
no conjunto, ou seja:
Se somarmos esses dois polinômios, teremos:
Então, a soma de dois polinômios no conjunto não está mais no conjunto.
Resposta
Portanto, o conjunto dos polinômios
com coeficientes reais que satisfazem
não é um espaço vetorial.
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