Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se um certo conjunto é um espaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto dos polinômios
com coeficientes reais que satisfazem a condição
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e essas operações precisam seguir certas regras, como associatividade, existência de um vetor zero, etc. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios.
Passo 3
Agora, para verificar se nosso conjunto é um espaço vetorial, precisamos checar algumas propriedades básicas:
- Fechamento sob adição: Se você pegar dois polinômios que satisfazem
e somá-los, o resultado também deve satisfazer essa condição. - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio que satisfaz a condição por um número real qualquer, o polinômio resultante também deve satisfazer
. - Existência do vetor zero: Deve existir um polinômio no conjunto tal que, para todos os valores, ele seja zero.
Passo 4
Vamos começar com a adição. Suponha que temos dois polinômios
e
que satisfazem:
Se somarmos esses polinômios, temos:
Então, a soma deles também satisfaz a condição.
Passo 5
Agora, vamos para a multiplicação por escalar. Pegue um polinômio
que satisfaz
e um número real
. Multiplicando o polinômio por
:
Então, o polinômio resultante também satisfaz a condição.
Passo 6
Por último, vamos verificar a existência do vetor zero. O polinômio zero, que é
para todo
, claramente satisfaz:
Então, o vetor zero está no conjunto.
Resposta
Sim, o conjunto dos polinômios
com coeficientes reais que satisfazem
é um espaço vetorial.
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Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
tais que a soma das suas componentes é 5 .
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que valem 1 na origem.