Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios p com coeficientes reais tais que p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se um certo conjunto é um espaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que satisfazem a condição . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e essas operações precisam seguir certas regras, como associatividade, existência de um vetor zero, etc. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios.

Passo 3

Agora, para verificar se nosso conjunto é um espaço vetorial, precisamos checar algumas propriedades básicas:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar dois polinômios que satisfazem e somá-los, o resultado também deve satisfazer essa condição.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio que satisfaz a condição por um número real qualquer, o polinômio resultante também deve satisfazer .
  3. Existência do vetor zero: Deve existir um polinômio no conjunto tal que, para todos os valores, ele seja zero.

Passo 4

Vamos começar com a adição. Suponha que temos dois polinômios p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 0 q(1) + q(2) + q(3) + q(4) = 0 e (p + q)(1) + (p + q)(2) + (p + q)(3) + (p + q)(4) = [p(1) + q(1)] + [p(2) + q(2)] + [p(3) + q(3)] + [p(4) + q(4)] = 0 + 0 = 0 que satisfazem:
Se somarmos esses polinômios, temos:
Então, a soma deles também satisfaz a condição.

Passo 5

Agora, vamos para a multiplicação por escalar. Pegue um polinômio (cp)(1) + (cp)(2) + (cp)(3) + (cp)(4) = c cdot p(1) + c cdot p(2) + c cdot p(3) + c cdot p(4) = c cdot 0 = 0 que satisfaz e um número real . Multiplicando o polinômio por :
Então, o polinômio resultante também satisfaz a condição.

Passo 6

Por último, vamos verificar a existência do vetor zero. O polinômio zero, que é 0 + 0 + 0 + 0 = 0 para todo , claramente satisfaz:
Então, o vetor zero está no conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que satisfazem é um espaço vetorial.

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