Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
tais que a soma das suas componentes se anula.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se um conjunto específico de vetores é um espaço vetorial. O conjunto em questão é formado por todos os vetores em
cuja soma das componentes é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de espaço vetorial e subespaço vetorial, além das propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ter uma operação de adição definida, também permite a multiplicação por escalares (números reais, no caso de
). Para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial, ele deve satisfazer dez axiomas que garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar funcionem de maneira consistente.
Passo 3
No nosso caso, queremos verificar se o conjunto
dos vetores em
com soma das componentes igual a zero é um espaço vetorial. Para isso, vamos verificar se
satisfaz as seguintes propriedades básicas:
-
Contém o vetor zero: O vetor zero em
é . A soma das suas componentes é . Portanto, o vetor zero está em . -
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores
e em , onde a soma das componentes de é zero e a soma das componentes de também é zero, a soma terá componentes cuja soma é . Assim, também está em . -
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor
em e multiplicar por um escalar , a soma das componentes de será . Portanto, também está em .
Resposta
Sim, o conjunto dos vetores de
cuja soma das componentes se anula é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de conter o vetor zero, e ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.
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com coeficientes reais tais que
.
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Obtenha os pontos da reta
que equidistam de
e
, onde:
a) e
.
b) e
.
a)
b)