Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de R^n tais que a soma das suas componentes se anula.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se um conjunto específico de vetores é um espaço vetorial. O conjunto em questão é formado por todos os vetores em cuja soma das componentes é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de espaço vetorial e subespaço vetorial, além das propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ter uma operação de adição definida, também permite a multiplicação por escalares (números reais, no caso de ). Para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial, ele deve satisfazer dez axiomas que garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar funcionem de maneira consistente.

Passo 3

No nosso caso, queremos verificar se o conjunto dos vetores em com soma das componentes igual a zero é um espaço vetorial. Para isso, vamos verificar se satisfaz as seguintes propriedades básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero em é . A soma das suas componentes é . Portanto, o vetor zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores e em , onde a soma das componentes de é zero e a soma das componentes de também é zero, a soma terá componentes cuja soma é . Assim, também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicar por um escalar , a soma das componentes de será . Portanto, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto dos vetores de cuja soma das componentes se anula é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de conter o vetor zero, e ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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a) r: X=(0,0,4)+alpha(4,2,-3), A=(2,2,5) e B=(0,0,1).
b) r: X=(2,3,-3)+alpha(1,1,1), A=(1,1,0) e B=(2,2,4).