Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema juntos! A questão pede para determinar se um certo conjunto é um espaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto de todos os polinômios
com coeficientes reais que satisfazem a condição
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, entre outras. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios com coeficientes reais que obedecem à condição
.
Passo 3
Vamos começar verificando se o conjunto não está vazio. O vetor zero (ou polinômio zero) deve pertencer ao conjunto. Vamos ver:
Para o polinômio zero, temos
para todo
. Então,
Portanto, o polinômio zero está no conjunto. Isso é um bom sinal!
Passo 4
Agora, precisamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios que satisfazem
e
, a soma deles também deve satisfazer essa condição.
Vamos calcular para
:
Então, a soma
também está no conjunto. Isso confirma o fechamento sob adição.
Passo 5
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalares. Ou seja, se
está no conjunto e
é um número real, então
também deve estar no conjunto.
Calculando para
:
Portanto,
também satisfaz a condição e está no conjunto. Assim, há fechamento sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto dos polinômios
com coeficientes reais que satisfazem
é um espaço vetorial.
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Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau
, com
fixo.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
tais que a soma das suas componentes é 5 .