Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios p com coeficientes reais tais que 3 p(1)-5 p(2)=0.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema juntos! A questão pede para determinar se um certo conjunto é um espaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais que satisfazem a condição . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, entre outras. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios com coeficientes reais que obedecem à condição .

Passo 3

Vamos começar verificando se o conjunto não está vazio. O vetor zero (ou polinômio zero) deve pertencer ao conjunto. Vamos ver:
Para o polinômio zero, temos 3 p(1) - 5 p(2) = 3 times 0 - 5 times 0 = 0 para todo . Então,
Portanto, o polinômio zero está no conjunto. Isso é um bom sinal!

Passo 4

Agora, precisamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios que satisfazem 3 (p + q)(1) - 5 (p + q)(2) = 3p(1) + 3q(1) - 5p(2) - 5q(2) = (3p(1) - 5p(2)) + (3q(1) - 5q(2)) = 0 + 0 = 0 e , a soma deles também deve satisfazer essa condição.
Vamos calcular para :
Então, a soma também está no conjunto. Isso confirma o fechamento sob adição.

Passo 5

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalares. Ou seja, se 3 (c cdot p)(1) - 5 (c cdot p)(2) = 3c p(1) - 5c p(2) = c (3 p(1) - 5 p(2)) = c times 0 = 0 está no conjunto e é um número real, então também deve estar no conjunto.
Calculando para :
Portanto, também satisfaz a condição e está no conjunto. Assim, há fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que satisfazem é um espaço vetorial.

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