Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se um certo conjunto é um espaço vetorial. A gente vai trabalhar com polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem, ou seja, polinômios
tais que
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre todas as regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto onde você pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar de maneira que certas propriedades sejam satisfeitas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc. No nosso caso, o conjunto de polinômios é um espaço vetorial se, ao somar dois polinômios desse conjunto ou multiplicar um polinômio por um número real, o resultado ainda estiver nesse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se nosso conjunto de polinômios que se anulam na origem é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois polinômios que valem zero em
e somar eles, o resultado também deve valer zero em
.
Passo 4
Sejam
e
dois polinômios que se anulam na origem:
Vamos somar eles:
Então, avaliando em
:
Isso mostra que
também se anula na origem. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente pegar um polinômio que se anula na origem e multiplicar por um número real, o resultado também deve se anular na origem.
Seja
um polinômio que se anula na origem e
um número real:
Multiplicando por
:
Avaliando em
:
Então,
também se anula na origem. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem é um espaço vetorial, pois é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, satisfazendo todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.
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Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau
, com
fixo.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios
com coeficientes reais tais que
.