Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se um certo conjunto é um espaço vetorial. A gente vai trabalhar com polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem, ou seja, polinômios tais que . Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre todas as regras necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto onde você pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar de maneira que certas propriedades sejam satisfeitas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc. No nosso caso, o conjunto de polinômios é um espaço vetorial se, ao somar dois polinômios desse conjunto ou multiplicar um polinômio por um número real, o resultado ainda estiver nesse conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se nosso conjunto de polinômios que se anulam na origem é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois polinômios que valem zero em e somar eles, o resultado também deve valer zero em .

Passo 4

Sejam P(0) = 0 e Q(0) = 0 dois polinômios que se anulam na origem:
(P + Q)(x) = P(x) + Q(x)
(P + Q)(0) = P(0) + Q(0) = 0 + 0 = 0
Vamos somar eles:
Então, avaliando em :
Isso mostra que também se anula na origem. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente pegar um polinômio que se anula na origem e multiplicar por um número real, o resultado também deve se anular na origem.
Seja P(0) = 0 um polinômio que se anula na origem e (c cdot P)(x) = c cdot P(x) um número real:
(c cdot P)(0) = c cdot P(0) = c cdot 0 = 0
Multiplicando por :
Avaliando em :
Então, também se anula na origem. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais que se anulam na origem é um espaço vetorial, pois é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, satisfazendo todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

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Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau n, com n in N fixo.
r: x=2-t
y=0
z=t
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios p com coeficientes reais tais que 3 p(1)-5 p(2)=0.
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