Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau , com fixo.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau fixo é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar o que caracteriza um espaço vetorial e checar se esse conjunto atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial? Basicamente, é um conjunto onde você pode somar dois elementos e multiplicar por um escalar, e essas operações seguem certas regras, como associatividade, existência do elemento neutro (zero), e outras propriedades que garantem a “estrutura” do espaço.
Passo 3
Agora, vamos focar nos polinômios de grau fixo . Um polinômio desse tipo pode ser escrito como:
onde . Ou seja, o termo de maior grau sempre está presente e não é zero.
Passo 4
Para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas operações.
Passo 5
Adição: Se somarmos dois polinômios de grau , o termo de maior grau () vai se manter, já que a soma de dois números não nulos (os coeficientes de ) ainda é não nula. Portanto, a soma também será um polinômio de grau . Parece que estamos ok até aqui.
Passo 6
Multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio de grau por um escalar diferente de zero, o grau do polinômio permanece . Mas e se o escalar for zero? A multiplicação por zero resultaria no polinômio nulo, que não tem grau definido, ou seja, não é de grau .
Passo 7
Além disso, para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa conter o elemento zero (o polinômio nulo). Porém, no conjunto dos polinômios de grau fixo , o polinômio nulo não está incluído, já que ele não possui grau definido.
Resposta
Com base nisso, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau fixo não é um espaço vetorial, pois não satisfaz todas as propriedades necessárias, como a presença do elemento zero e a fechamento sob multiplicação por escalar quando o escalar é zero.