Encontre uma transformação linear tal que o vetor pertence ao núcleo de e vetor pertença a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear que satisfaça duas condições: o vetor está no núcleo de e o vetor está na imagem de . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes que representam transformações lineares, Núcleo e Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho . Essa matriz multiplica um vetor de e resulta em um vetor de .

Passo 3

A condição que o vetor está no núcleo de significa que quando multiplicamos por , o resultado deve ser o vetor zero em . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações para os elementos da matriz .

Passo 4

Vamos chamar a matriz de:
Multiplicando por , temos:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos considerar que o vetor está na imagem de . Isso significa que existe algum vetor em tal que:
Vamos escolher valores simples para e para facilitar a solução, por exemplo, e .

Passo 6

Com e , temos:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos voltar às equações do núcleo:

Passo 8

Com todos os elementos encontrados, a matriz fica:
Essa matriz representa a transformação linear que atende às condições do exercício.

Resposta

A transformação linear pode ser representada pela matriz:

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para todo e . Defina a aplicação
onde (este é o produto interno canônico de ).
a) Prove que é um produto interno.
b) Sendo , calcule o ângulo e a distância entre as funções .
c) Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que
Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos é um subespaço vetorial de .
a)
b)
c) são racionais
d)
e)
f)
g)
h)
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde .