Encontre uma transformação linear tal que o vetor pertence ao núcleo de e vetor pertença a imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear que satisfaça duas condições: o vetor está no núcleo de e o vetor está na imagem de . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes que representam transformações lineares, Núcleo e Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho . Essa matriz multiplica um vetor de e resulta em um vetor de .
Passo 3
A condição que o vetor está no núcleo de significa que quando multiplicamos por , o resultado deve ser o vetor zero em . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações para os elementos da matriz .
Passo 4
Vamos chamar a matriz A = a & b c & d e & f de:
a & b c & d e & f 1 2 = a + 2b c + 2d e + 2f = 0 0 0
Multiplicando por a + 2b = 0 c + 2d = 0 e + 2f = 0 , temos:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos considerar que o vetor A x y = 1 2 3 está na imagem de . Isso significa que existe algum vetor em tal que:
Vamos escolher valores simples para e para facilitar a solução, por exemplo, e .
Passo 6
Com a & b c & d e & f 1 0 = a c e = 1 2 3 e a = 1 c = 2 e = 3 , temos:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos voltar às equações do núcleo:
a + 2b = 0 Rightarrow 1 + 2b = 0 Rightarrow b = -12 c + 2d = 0 Rightarrow 2 + 2d = 0 Rightarrow d = -1 e + 2f = 0 Rightarrow 3 + 2f = 0 Rightarrow f = -32
Passo 8
Com todos os elementos encontrados, a matriz A = 1 & -12 2 & -1 3 & -32 fica:
Essa matriz representa a transformação linear que atende às condições do exercício.
Resposta
A transformação linear T = 1 & -12 2 & -1 3 & -32 pode ser representada pela matriz: