Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(d)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda dada por definida para todo o intervalo real, ou seja, . O conteúdo envolvido aqui está relacionado à mecânica quântica, especificamente à análise de funções de onda aceitáveis. Para determinar se essa função de onda é aceitável, precisamos verificar se ela atende aos critérios necessários, como normalização e comportamentos nos limites do intervalo dado.

Passo 2

O primeiro critério que vamos verificar é se a função de onda é normalizável. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser finita. Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Para calcular essa integral, reconhecemos que ela é uma forma da integral gaussiana, que é conhecida por ter um valor finito. A integral geral da forma é igual a . No nosso caso, , então a integral se torna:
Como é um número finito, isso significa que a função de onda é normalizável.

Passo 4

Além da normalização, também precisamos verificar se a função de onda é contínua e diferenciável em todo o intervalo . A função é uma função exponencial suave, sem descontinuidades ou pontos angulosos, e suas derivadas de todas as ordens também existem e são contínuas.

Passo 5

Por fim, devemos assegurar que a função de onda tende a zero quando tende a . Observando , vemos que, à medida que cresce positivamente ou negativamente, o termo tende a zero rapidamente, garantindo que a função de onda se comporte adequadamente nos limites do intervalo considerado.

Resposta

A função de onda é aceitável no intervalo porque é normalizável, contínua, diferenciável em todo o domínio e tende a zero nos limites do intervalo.

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