Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda dada por
definida para todo o intervalo real, ou seja,
. O conteúdo envolvido aqui está relacionado à mecânica quântica, especificamente à análise de funções de onda aceitáveis. Para determinar se essa função de onda é aceitável, precisamos verificar se ela atende aos critérios necessários, como normalização e comportamentos nos limites do intervalo dado.
Passo 2
O primeiro critério que vamos verificar é se a função de onda
é normalizável. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser finita. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Para calcular essa integral, reconhecemos que ela é uma forma da integral gaussiana, que é conhecida por ter um valor finito. A integral geral da forma
é igual a
. No nosso caso,
, então a integral se torna:
Como
é um número finito, isso significa que a função de onda
é normalizável.
Passo 4
Além da normalização, também precisamos verificar se a função de onda é contínua e diferenciável em todo o intervalo
. A função
é uma função exponencial suave, sem descontinuidades ou pontos angulosos, e suas derivadas de todas as ordens também existem e são contínuas.
Passo 5
Por fim, devemos assegurar que a função de onda tende a zero quando
tende a
. Observando
, vemos que, à medida que
cresce positivamente ou negativamente, o termo
tende a zero rapidamente, garantindo que a função de onda se comporte adequadamente nos limites do intervalo considerado.
Resposta
A função de onda
é aceitável no intervalo
porque é normalizável, contínua, diferenciável em todo o domínio e tende a zero nos limites do intervalo.