Considere um ponto P, distante z do centro de um dipolo, e localizado sobre o eixo do dipolo. Demonstre que o campo elétrico produzido pelo dipolo nesse ponto P pode ser aproximado por EP=Q d / 2 pi varepsilon0 z^3, onde Q é o módulo das cargas, d é a distância de separação das cargas, pi e varepsilon0 são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre dipolos elétricos e como eles criam um campo elétrico em um ponto específico. A gente precisa mostrar que o campo elétrico EP = Q d2 pi varepsilon0 z^3 no ponto , que está distante do centro do dipolo e sobre o eixo dele, pode ser aproximado pela fórmula:
Aqui, é a carga das partículas, é a distância entre elas, é a constante matemática e é a permissividade do vácuo. Vamos precisar entender como calcular o campo elétrico criado por cargas em diferentes posições e usar algumas simplificações quando a distância é bem maior que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é composto por duas cargas de sinais opostos ( e ) separadas por uma distância . O centro do dipolo é o ponto médio entre essas cargas. Nosso ponto está no eixo do dipolo, a uma distância do centro.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o campo elétrico devido a cada carga no ponto E = 14 pi varepsilon0 cdot Qr^2 . A fórmula do campo elétrico criado por uma carga em um ponto distante é:
Como temos duas cargas, vamos calcular o campo de cada uma e depois somar.

Passo 4

Vamos considerar as posições das cargas em relação ao ponto E+ = 14 pi varepsilon0 cdot Q(z - d2)^2 . A carga positiva E- = 14 pi varepsilon0 cdot -Q(z + d2)^2 está a uma distância de , e a carga negativa está a uma distância . Assim, os campos devido a cada carga são:

Passo 5

Para simplificar, vamos supor que (z pm d2)^-2 approx 1z^2 (1 mp dz)^-2 approx 1z^2 (1 pm dz) é muito maior que ( ). Isso nos permite usar uma aproximação de expansão em série de Taylor para simplificar as expressões dos denominadores.
Primeiro, expandimos e em série em torno de :
Negligenciamos termos de ordem superior porque é pequeno.

Passo 6

Substituindo essas aproximações nas expressões dos campos:
E+ approx 14 pi varepsilon0 cdot Qz^2 (1 + dz)
E- approx 14 pi varepsilon0 cdot -Qz^2 (1 - dz)

Passo 7

Agora, somamos os dois campos para obter o campo total no ponto EP = E+ + E- approx Q4 pi varepsilon0 z^2 (1 + dz) - Q4 pi varepsilon0 z^2 (1 - dz) :
EP approx Q4 pi varepsilon0 z^2 cdot 2dz = Q d2 pi varepsilon0 z^3
Simplificando:

Resposta

Portanto, o campo elétrico no ponto EP = Q d2 pi varepsilon0 z^3 é aproximado por:

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