Considere um ponto
, distante
do centro de um dipolo, e localizado sobre o eixo do dipolo. Demonstre que o campo elétrico produzido pelo dipolo nesse ponto
pode ser aproximado por
, onde Q é o módulo das cargas, d é a distância de separação das cargas,
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre dipolos elétricos e como eles criam um campo elétrico em um ponto específico. A gente precisa mostrar que o campo elétrico
no ponto
, que está distante
do centro do dipolo e sobre o eixo dele, pode ser aproximado pela fórmula:
Aqui,
é a carga das partículas,
é a distância entre elas,
é a constante matemática e
é a permissividade do vácuo. Vamos precisar entender como calcular o campo elétrico criado por cargas em diferentes posições e usar algumas simplificações quando a distância
é bem maior que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é composto por duas cargas de sinais opostos (
e
) separadas por uma distância
. O centro do dipolo é o ponto médio entre essas cargas. Nosso ponto
está no eixo do dipolo, a uma distância
do centro.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o campo elétrico devido a cada carga no ponto
. A fórmula do campo elétrico criado por uma carga
em um ponto distante
é:
Como temos duas cargas, vamos calcular o campo de cada uma e depois somar.
Passo 4
Vamos considerar as posições das cargas em relação ao ponto
. A carga positiva
está a uma distância
de
, e a carga negativa
está a uma distância
. Assim, os campos devido a cada carga são:
Passo 5
Para simplificar, vamos supor que
é muito maior que
(
). Isso nos permite usar uma aproximação de expansão em série de Taylor para simplificar as expressões dos denominadores.
Primeiro, expandimos
e
em série em torno de
:
Negligenciamos termos de ordem superior porque
é pequeno.
Passo 6
Substituindo essas aproximações nas expressões dos campos:
Passo 7
Agora, somamos os dois campos para obter o campo total no ponto
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no ponto
é aproximado por:
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