Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda dada por
definida para todos os valores de
de
a
. Nosso objetivo é verificar se essa função de onda é aceitável no intervalo dado. Para isso, precisamos usar conceitos de normalização de funções de onda, que fazem parte da mecânica quântica. Vamos precisar calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda para verificar se ela é finita.
Passo 2
Uma função de onda é considerada aceitável se for normalizável, ou seja, se a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço for finita. Matematicamente, isso significa que precisamos calcular:
No nosso caso,
, então o módulo ao quadrado é:
Portanto, a integral que precisamos avaliar é:
Passo 3
Vamos analisar a integral:
A função
cresce muito rapidamente à medida que
se afasta de zero. Para uma função ser normalizável, essa integral precisa ser finita. No entanto, sabemos que a integral de
sobre todo o eixo real converge apenas se
for negativo. No nosso caso,
, que é positivo, o que significa que a integral diverge para o infinito.
Resposta
A função de onda
não é aceitável no intervalo
, pois a integral do seu módulo ao quadrado diverge, tornando-a não normalizável.
Exercícios relacionados
Considere um ponto
, distante
do centro de um dipolo, e localizado sobre o eixo do dipolo. Demonstre que o campo elétrico produzido pelo dipolo nesse ponto
pode ser aproximado por
, onde Q é o módulo das cargas, d é a distância de separação das cargas,
e
são constantes.
Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(d)
(d)
Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(f)
(f)
Uma esfera não-condutora com
de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de
. Determine o módulo do campo elétrico a
do centro da esfera.